Title: La resolució de problemes
Course: Itinerari de Resolució de Problemes per a 1r d'ESO

LA RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

La resolució de problemes és una activitat que ens permet exercirtar i adquirir gairebé totes les competències bàsiques de l'àrea de matemàtiques i algunes més i tot. La capacitat per resoldre problemes és ja en si mateixa una competència bàsica. La resolució de problemes obliga a reconèixer el que s'ha après en multitud de situacions quotidianes i aplicar-ho per resoldre situacions problemàtiques.

Per aprendre a resoldre problemes el millor que podem fer és resoldre sols alguns problemes analitzant el procés mental que seguim, els moments "d'il·luminació", el tipus d'idees que ens venen al cap... adonar-nos que quan més problemes resolem, més en sabem, perquè hi ha alguna cosa metodològica que es repeteix en problemes diferents.

Un problema és un repte, semblant a una competició esportiva contra un mateix o en grups com el bàsquet, perquè no?

Hem de procurar sempre viure la resolució de problemes a classe com una activitat lúdica i plaent, la qual cosa no significa ni que sigui fàcil ni que no s'hagi de treballar dur.

Resoldre un problema no ha de ser una demostració de la intel·lingència de ningú, ni de la poca traça de ningú, ans al contrari, és un exercici per superar-se un mateix, que porta generalment a una descoberta interessant, encara que no resolguem del tot el problema o encara que hàgim comés algun error. El procès de resoldre el problema ens permet adonar-nos que tenim més poder mental del que ens pensem!

Hi ha problemes que semblen molt difícils per la senzilla raó que mai abans havíem pensat en cap problema semblat.

La resolució de problemes es pot treballar individualment, però també és una bona ocasió per practicar el treball en grup.

La metodologia de resolució de problemes

Pel que fa la metodologia, tenim les pautes que va donar Polya, a principi del segle passat (primer intent de donar un marc teòric a la resolució de problemes):

G. Polya, How to Solve It

Summary taken from G. Polya, "How to Solve It", 2nd ed., Princeton University Press, 1957, ISBN 0-691-08097-6.

1. UNDERSTANDING THE PROBLEM
  - First. You have to understand the problem.
  - What is the unknown? What are the data? What is the condition?
  - Is it possible to satisfy the condition? Is the condition sufficient to determine the unknown? Or is it insufficient? Or redundant? Or contradictory?
  - Draw a figure. Introduce suitable notation.
  - Separate the various parts of the condition. Can you write them down?
2. DEVISING A PLAN
  - Second. Find the connection between the data and the unknown. You may be obliged to consider auxiliary problems if an immediate connection cannot be found. You should obtain eventually a plan of the solution.
  - Have you seen it before? Or have you seen the same problem in a slightly different form?
  - Do you know a related problem? Do you know a theorem that could be useful?
  - Look at the unknown! And try to think of a familiar problem having the same or a similar unknown.
  - Here is a problem related to yours and solved before. Could you use it? Could you use its result? Could you use its method? Should you introduce some auxiliary element in order to make its use possible?
  - Could you restate the problem? Could you restate it still differently? Go back to definitions.
  - If you cannot solve the proposed problem try to solve first some related problem. Could you imagine a more accessible related problem? A more general problem? A more special problem? An analogous problem? Could you solve a part of the problem? Keep only a part of the condition, drop the other part; how far is the unknown then determined, how can it vary? Could you derive something useful from the data? Could you think of other data appropriate to determine the unknown? Could you change the unknown or data, or both if necessary, so that the new unknown and the new data are nearer to each other?
  - Did you use all the data? Did you use the whole condition? Have you taken into account all essential notions involved in the problem?
3. CARRYING OUT THE PLAN
  - Third. Carry out your plan.
  - Carrying out your plan of the solution, check each step. Can you see clearly that the step is correct? Can you prove that it is correct?
4. Looking Back
  - Fourth. Examine the solution obtained.
  - Can you check the result? Can you check the argument?
  - Can you derive the solution differently? Can you see it at a glance?
  - Can you use the result, or the method, for some other problem?

Tot i que les pautes de Polya estan pensades per tots els nivells, fins i tot l'universitari, és convenient fer-ne una lectura des del punt de vista de l'aprenentatge de la resolució de problemes en els nivells més elementals:

1- Entendre el problema:

Podem fer-nos preguntes per aclarir si realment hem entès què diu el problema i què demana. Sovint ens perden per culpa d'una paraula que no coneixem.

2- Dissenyar un pla:

No ens podem llençar a resoldre el problema immediatament que l'hem llegit. Hem d'explicar, per escrit o oralment, el que pensem fer abans de començar la tasca. Per senzill que sembli un problema, aquest hàbit ens serà molt útil per resoldre altres problemes més complicats.

Si no saben resoldre aquest problema, es pot començar amb un problema semblant però més fàcil.

3- Executar el pla:

Quan ja tenim clars tots els passos a seguir per resoldre el problema, llavors podem començar a fer les operacions per arribar a la resposta.

4- Tornar al principi:

Quan tenim la resposta, no s'acaba la feina! Hem de tornar a llegir el problema i pensar si aquesta resposta té sentit. Podem comprovar la solució? Responem realment el que el problema demanava?

És important entendre que el procès de resolució de problemes no és fàcil, ni tal sols pel professorat, el més normal per tothom és haver de pensar una mica (o molt) abans de llençar-se a resoldre el problema. Les pautes de Polya ajuden a comprendre també que no s'hi val a deixar el paper en blac, que tothom pot col·laborar en algun aspecte de la tasca..

És per això que els problemes són una bona ocasió pel treball en equip: un alumne pot llegir el problema en veu alta al grup, un altre pot explicar què significa el problema i què demana, un tercer pot traçar el pla de resolució. Llavors es poden posar tots a l'hora a resoldre'l i finalment poden verificar si han optingut el mateix resultat i discutir plegats si el problema queda ben resolt o no.

Un alumne que actua de secretari pot anar escrivint el que va pensant i fent el grup. Al final cal lliurar l'informe escrit per avaluar el treball del grup.

PROBLEMES PER COMENÇAR

Problema 1: (per resoldre individualment)

Trobeu un nombre de vuit xifres que multiplicat per un nombre d'una xifra doni un nombre de nou xifres totes les nou xifres iguals a 8. (ep! no val a fer servir la calculadora!)

Problema 2: (per resoldre individualment)

Trobeu un nombre de sis xifres acabat en 4, de manera que passant el 4 al davant resulti un altre nombre quatre vegades més gran. (però, us ajudaria gaire la calculadora?)

Problema 3: (per resoldre en grup)

Un guerrer samurai té una espasa màgica on hi porta gravat un nombre de nou xifres format per les xifres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9 ordenades d'una manera especial:

Quan treu l'espasa de la funda i surt la primera xifra, aquesta és un nombre divisible per 1.

Quan estira una mica més l'espasa i es veuen dues xifres, aquestes formen un nombre divisible per2.

Quan surt la tercera xifra, llavors es forma un nombre de 3 xifres divisible per 3.

Estirant una mica més fins tenir 4 xifres, el nombre que es llegeix és divisible per 4.

Amb cinc xifres a la vista, el nombre que formen és divisible per 5...

i així successivament, fins que tenim les 9 xifres a la vista que formen un nombre divisible per 9.

Esbrineuquin pot ser el nombre que porta gravat a l'espasa aquest guerrer? Us ajudarà molt recordar els criteris de divisibilitat. Organitzeu-vos i repartiu-vos bé la feina!

Atenció!: si algú coneix el problema i la seva resposta, que ho apunti i ho guardi per més endavant. Dir-ho de seguida seria com explicar el final de la película abans d'entrar a la sala de cinema.