Title: La funció lineal. Pendent d'una recta
Course: Introducció a les funcions

La funció lineal i les seves característiques

La funció lineal

Magnituds directament proporcionals

Suposem el següent enunciat: La Maria treballa en una fruiteria on el quilogram de pomes val 1,5 €. El seu cap li ha dit que ha de fer una taula on hi hagi el preu des d'un fins a 10 kg. La taula que fa la Maria, si el kg de pomes val 1,5 € és la següent:

kg pomes | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10
Preu (€) | 1,5 | 3 | 4,5 | 6 | 7,5 | 9 | 10,5 | 12 | 13,5 | 15

Podem observar que si augmenta una magnitud l'altra també ho fa, però de manera proporcional, és a dir, si una es duplica l'altra també es duplica i si una es triplica, l'altra també es triplica:

- Si passem de 2 kg a 4 kg (dupliquem el pes), passem de 3 € a 6 € (es duplica el preu).
- Si passem de 2 kg a 6 kg (tripliquem el pes), passem de 3 € a 9 € (es triplica el preu).

En general, si multipliquem una magnitud per un nombre n, l'altra magnitud també es multiplica per aquest nombre n.

Si dividim els valors del nombre de quilograms de pomes pels seus valors corresponents de preu (o a l'inrevés), obtenim sempre el mateix resultat:

Si el quocient entre valors corresponents de dues magnituds és constant, diem que aquestes magnituds són directament proporcionals. Aquest valor constant s'anomena constant de proporcionalitat (k) i com veiem a l'exemple de les pomes, sempre en són dues: la que resulta de dividir els valors de la variable independent entre les de la variable dependent i a l'inrevés:

k_1 = 0,67 kg/€

k_2 = 1,5 €/kg

La primera constant, k_1 = 0,67, és la constant de proporcionalitat entre el nombre de quilograms de pomes i el preu i ens indica els quilograms de pomes que podem comprar per un euro; la segona constant, k_2 = 1,5, és la constant de proporcionalitat entre el preu i el nombre de quilograms i ens indica els diners que costa un quilogram de pomes.

Funcions de proporcionalitat directa

La relació acabada de veure entre el nombre de quilograms de pomes i el preu és una funció, doncs es tracta d'una relació de dependència entre aquestes dues magnituds (el preu que es paga depèn de la quantitat de pomes que es comprin) en la qual el nombre de quilograms de pomes és la variable independent i el preu la dependent i on per a cada valor d'aquella li correspon un únic valor d'aquesta.

Les funcions que relacionen dues magnituds directament proporcionals s'anomenen funcions de proporcionalitat directa. La funció que acabem de veure entre els quilograms de pomes i el preu és una funció de proporcionalitat directa. Si expressem per p el preu que es paga i per n el nombre de quilograms de pomes, l'equació d'aquesta funció és:

p = 1,5n

Podem observar que el nombre que multiplica la variable n (anomentat coeficient de la variable independent) és 1,5, és a dir, la constant de proporcionalitat entre el preu i els quilograms de pomes:

Si representem en un pla cartesià els punts dels valors de la taula, tenim la gràfica de l'esquerra. S'observa que els punts estan alineats i que quan els unim (aquí sí té sentit unir-los, ja que tant el nombre de quilograms com el preu poden agafar qualsevol valor, enter o decimal), obtenim una recta que passa per l'origen de coordenades (en aquest cas comença).

Aquesta gràfica ens permet, entre d'altres coses, determinar el preu per a qualsevol quantitat de pomes.

La funció lineal. Característiques

En matemàtiques les funcions són generals; en el cas de la funció lineal es tracta d'una relació de dependència directament proporcional entre dues variables, on la variable independent se simbolitza per x i la variable dependent per y. D'aquesta manera, si tenim una funció lineal entre dues variables x i y i a és la constant de proporcionalitat entre la variable dependent respecte la independent, l'equació d'aquesta funció és:

y = ax

La gràfica d'aquesta funció és una recta que passa per l'origen de coordenades i què és, doncs, l'únic punt d'intersecció amb els eixos de coordenades (talla els dos eixos per un únic i comú punt: O = (0, 0)). Depenent del signe del coeficient a, la recta pot ser creixent o decreixent:

- Si a > 0 la funció és creixent, com es pot veure a la gràfica de la dreta (recta vermella) i l'equació és doncs de la forma:

y = ax

- Si a < 0 la funció és decreixent, com es pot veure a la gràfica de la dreta (recta blava) i l'equació és doncs de la forma:

y = -ax

Evidentment, a no pot ser mai zero, doncs ja no tindríem una funció lineal o de proporcionalitat directa, sinó una funció constant en la que la gràfica és una recta que coincideix amb l'eix d'abcisses, y = 0.

Veurem com a exemple dues funcions lineals, la que assigna a cada nombre el seu triple, y = 3x i la que assigna a cada nombre l'oposat del seu doble, y = - 2x. Per representar-les farem una taula de valors per a cadascuna de les dues funcions. Per fer-les agafarem uns pocs valors representatius (el zero i els voltants, negatius i positius). Donem doncs valors a la variable independent x i calculem el valors corresponents de la dependent y:

y = 3x

x | - 3 | - 2 | - 1 | 0 | 1 | 2 | 3
y | - 9 | - 6 | - 3 | 0 | 3 | 6 | 9

y = - 2x

x | - 3 | - 2 | - 1 | 0 | 1 | 2 | 3
y | 6 | 4 | 2 | 0 | - 2 | - 4 | - 6

De totes maneres, amb dos valors ja en tenim prou per representar gràficament una recta, i encara menys, com que la funció lineal passa per l'origen de coordenades, calculant un punt ja podem dibuixar la recta. Abans de representar gràficament les funcions, comprovem que són funcions de proporcionalitat directa:

La representació gràfica d'aquestes dues funcions és la següent:

Pendent de la recta

El pendent d'una recta és la inclinació d'aquesta, és a dir, l'augment (o disminució) que experimenta la variable dependent (la vertical) quan la variable independent (l'horitzontal) augmenta una unitat.

També podem dir que és el quocient entre la distància vertical i la distància horitzontal entre dos punts de la recta.

Si tenim l'equació de la funció, el coeficient de la variable x (a), ens dóna el valor del pendent, el qual se simboltiza amb m:

pendent = m = a

i significa que per cada unitat que augmenta la variable x, la variable y ho fa en m unitats.

Així, l'equació de la funció lineal també es pot escriure:

y = mx

Podem observar també que el valor del pendent coincideix amb el valor de la constant de proporcionalitat:

m = k

Si tornem a les dues funcions vistes, y = 3x i y = - 2x, en la primera el pendent és m = 3, és a dir, per cada unitat que augmenta la x, la y augmenta 3 unitats, en la segona el pendent és m = - 2, és a dir, per cada unitat que augmenta la variable x, la y disminueix (és negativa) 2 unitats. Es pot veure aquest comportament en la gràfica d'aquestes funcions.

Si el pendent d'una recta és una fracció (a/b), més que interpretar que per una unitat de la x la y augmenta o disminueix a/b unitats, és millor interpretar-ho com que per cada b unitats de la x la y augmenta o disminueix a unitats.

Així, si tenim la funció:

el pendent d'aquesta recta és 3/4 i podem dir que per cada 4 unitats que augmenta la variable x, la y augmenta 3 unitats. Si ens hi fixem, com el valor del pendent 3/4 és 0,75, per cada unitat que augmenta la x la y ho fa en 0,75 unitats.

I ara practica

Pots practicar amb la funció lineal i amb el pendent a les pràctiques Lineal i Pendent_recta, les quals també les tens accessibles a la carpeta Funcions de l'apartat Activitats d'aprenentatge (funció lineal) i a la carpeta Pendent i ordenada a l'origen de l'apartat Activitats d'aprenentatge (pendent).