Title: Maneres d'expressar una funció
Course: Introducció a les funcions

Com obtenim la informació d'una funció

Maneres d'expressar una funció

Com obtenim la informació d'una funció?

Per determinar una funció necessitem una informació que ens permeti establir la relació que tenen les dues variables. Aquesta informació la podem obtenir de diferents maneres:

- Una frase o un text
- Una expressió algebraica
- Una taula de valors
- Una gràfica

Frase o text

Es tracta de la descripció verbal o escrita de la situació que es planteja. Si considerem el nostre exemple del cotxe vist al tema anterior en explicar els conceptes de magnitud, variable i funció, aquesta descripció seria:

"La distància que recorre un cotxe a velocitat constant durant cinc hores"

Expressió algebraica

És una igualtat algebraica, en concret una equació, que ens permet calcular els valors de la variable dependent corresponents a qualsevol valor que pugui prendre la variable independent. Però no totes les funcions poden expressar-se algebraicament.

En el nostre exemple del cotxe, si considerem com d la distància recorreguda (variable dependent) i per v la velocitat (variable independent), l'equació és:

A partir de l'equació d'una funció, sempre se'n pot realitzar un estudi complet.

Taula de valors

Una taula de valors estableix els valors numèrics de la variable dependent que corresponen a determinats valors de la variable independent. Ens dóna així una visió quantitativa de la dependència entre les dues variables, ja que el que tenim en una taula són alguns parells de valors de la funció.

Per fer una taula de valors ho podem fer directament de l'estudi de camp de la mateixa: anem anotant els valors de la variable dependent corresponents a determinats valors de la variable independent. Però també la podem fer a partir de l'equació (si en disposem d'ella) donant uns quants valors arbitraris a la variable independent i calculant els valors corresponents de la variable dependent. Un cop tenim els parells de valors, els disposem en una taula vertical o horitzontal indicant-hi les magnituds i les unitats.

Si considerem el nostre exemple del cotxe, faríem una taula començant per v = 0 km/h (evidentment, no agafem velocitats negatives) fins a v = 120 km/h (en principi un cotxe no pot passar d'aquesta velocitat). Entre aquests dos valors de velocitats, calculem alguns valors de distàncies:

v (km/h) | 0 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120
d = 5 · v (km) | 0 | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600

Es pot observar que, a mesura que augmenta la velocitat ho fa la distància, però de manera proporcional; com veurem en el tema 5, es tracta d'una funció de proporcionalitat directa (lineal).

Gràfica

La gràfica es dibuixa en uns eixos cartesians on els valors de la variable independent es col·loquen a l'eix d'abcisses i els de la variable dependent al d'ordenades. A més, a cada eix indiquem la magnitud i la unitat de la mesura corresponent. La gràfica ens dóna una visió qualitativa, ràpida i global del comportament de les dues variables.

Farem la gràfica de l'exemple del cotxe representant els parells de valors obtinguts a la taula:

Com ni els valors de la velocitat ni de la distància són negatius, tots els punts de la gràfica estaran en el primer quadrant, menys el primer, que està a l'origen de coordenades i que representa si el cotxe està parat. D'aquesta manera només dibuixem la part positiva dels dos eixos.

Els punts s'uneixen, si es pot, amb una línia. En el nostre exemple els punts estan alineats; però a més, tant els valors de la velocitat com de la distància poden agafar qualsevol valor entre els valors mínim i màxim, pertanyen a una mateixa línia recta i, per tant, podem traçar una recta que conté els punts de la taula de valors i tots els possibles punts (infinits) de la funció.

Funcions matemàtiques

Aquesta funció que hem utilitzat, la distància que recorre un cotxe a velocitat constant durant cinc hores, és una funció física que relaciona magnituds concretes, en aquest cas la velocitat i la distància. En aquestes funcions les magnituds acostumen a estar acotades, no poden agafar tots els valors.

Així en l'exemple del cotxe, cap de les dues magnituds pot agafar valors negatius i, per tant, hi ha un límit inferior (v = 0 km/h - d = 0 km); però tampoc poden agafar qualsevol valor cap amunt i, per tant, hi ha també un límit superior (v = 120 km/h - d = 600 km).

En general podem considerar funcions que estableixin relacions entre nombres reals i, en aquest cas, no n'hi ha cap limitació física que faci que les funcions tinguin límits i, per tant, en principi les variables poden agafar qualsevol valor real, malgrat que no sempre és així, doncs les pròpies matemàtiques tenen també les seves limitacions, com veurem quan parlem de la funció de proporcionalitat inversa al tema 5.

Aquestes funcions que estableixen relacions entre nombres reals s'anomenen funcions matemàtiques, en les quals es representa per Y la variable dependent y per X la variable independent.

D'aquesta manera, la funció matemàtica que es correspondria a la funció del cotxe tindria el següent text:

"Funció en la que a cada nombre real li fa correspondre el seu quíntuple"

Aquesta funció té la següent equació:

y = 5x

Podríem fer una taula de valors amb alguns parells de valors, tenint en compte que ara sí que podem agafar valors negatius de la variable independent:

X | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5
Y | -25 | -20 | -15 | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25

Finalment dibuixaríem la gràfica col·locant els punts obtinguts a la taula i unint-los amb una línia recta. Però en aquest cas, la línia aniria més enllà dels valors obtinguts a la taula, tant per sota com per sobre, ja que no té límits (vindria des del menys infinit i aniria fins el més infinit).