Title: La funció constant
Course: Introducció a les funcions

La funció constant i les seves característiques

La funció constant

La funció constant

La funció constant també té per gràfica una recta, però a diferència de la funció lineal i de la funció afí, a la constant no n'hi ha cap relació de proporcionalitat, ni lineal ni d'altre tipus, entre les variables independent i dependent.

Ho veurem amb el següent exemple: El cost d'un bitllet del metro és de 2 € i paguem igual per un trajecte en què recorrem dues parades que per un altre en què en recorrem deu, com si entrem i sortim a la mateixa estació sense fer cap recorregut. Amb això podríem fer la següent taula:

Nombre parades | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10
Preu bitllet (€) | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2

Observem que hi ha dues magnituds, el nombre de parades i el preu del bitllet. El nombre de parades és una variable, ja que el seu valor varia, i no depèn del preu del bitllet, per la qual cosa és la variable independent. El preu del bitllet és constant, doncs sempre val el mateix sigui quin sigui el nombre de parades. Però malgrat que en realitat no és cap variable perquè és constant i no depèn del nombre de parades, considerem aquesta magnitud com la variable dependent.

D'aquesta manera es tracta d'una relació on sigui quin sigui el valor de la variable independent (nombre de parades), el valor de la variable dependent (preu del bitllet) és sempre el mateix. I es tracta d'una funció, ja que per a cada valor de la variable independent li correspon un únic valor de la variable dependent, si bé a l'unic valor d'aquesta li corresponen tots els valors d'aquella.

Aquest tipus de relació es coneix com funció constant: quan a cada valor de la variable independent li correspon el mateix valor de la variable dependent.

Si expressem per p el preu del bitllet, l'equació d'aquesta funció és:

p = 2

Si represenem en un pla cartesià els punts dels valors de la taula, obtenim la gàfica de l'esquerra. Podem veure que els punts obtinguts estan alineats i, si els poguéssim unir (en aquest cas no es poden unir perquè el nombre de bitllets és un nombre enter, o és un o és dos, però entre mig no n'hi ha cap), obtindríem una línea recta paral·lela a l'eix d'abcisses i d'altura 2.

Característiques de la funció constant

Com hem vist a l'equació de l'exemple del preu del bitllet de metro, el valor de la variable dependent és igual a 2 i no apareix la variable independent. En general, l'equació de la funció constant és:

y = b

on b és un nombre i sempre és el mateix.

La gràfica de la funció constant és una recta paral·lela a l'eix d'abcisses i, per tant, ni és creixent ni és decreixent. Depenent del signe de b, la recta estarà per sota o per sobre de l'eix d'abcisses:

- Si b > 0, la recta està per sobre de l'eix d'abcisses, com podem veure a la gràfica de la dreta (recta vermella) i l'equació és de la forma:

y = b

- Si b < 0, la recta està per sota de l'eix d'abcisses, com podem veure a la gràfica de la dreta (recta blava) i l'equació és de la forma:

y = -b

- Si b = 0, la recta coincideix amb l'eix d'abcisses i l'equació és:

y = 0

Veurem com a exemple les funcions constants y = 3 i y = -2.

Tant l'una com l'altra són horitzontals, és a dir, no tenen inclinació. Això vol dir que, un augment de la variable independent no suposa ni un augment ni una disminució de la variable dependent i, el pendent de la funció constant és zero: m = 0.

La recta de la funció y = 3 és paral·lela a l'eix de les X i d'altura 3. Per altra banda, talla l'eix de les Y en el punt (0, 3) (evident, ja que sigui quin sigui el valor de la x, la y val sempre 3); la recta de la funció y = -2 és paral·lela a l'eix de les X i d'altura -2. Per altra banda, talla l'eix de les Y en el punt (0, -2).

En general, la recta d'una funció constant és paral·lela a l'eix de les X i d'altura b. Això voldrà dir que talla l'eix de les Y en el punt (0, b) i, per tant, l'ordenada a l'origen és b (n = b). D'aquesta manera, l'equació de la funció constant també es pot posar com:

y = n

Així, en les funcions vistes, tenim:

n = 3 per a y = 3; n = -2 per a y = -2

Evidentment, en ser una recta paral·lela a l'eix d'abcisses no talla l'eix de les X, excepte en el cas de si b = 0, que aleshores intersecciona amb aquest eix en tots els punts.

I ara practica

Pots practicar amb la funció constant a la pràctica Constant, que també la tens accessible a la carpeta Funcions de l'apartat Activitats d'aprenentatge.