Title: La funció de proporcionalitat inversa
Course: Introducció a les funcions

La funció de proporcionalitat inversa i les seves característiques

La funció de proporcionalitat inversa

Magnituds inversament proporcionals

Suposem el següent enunciat: Un vehicle triga 6 hores en fer un trajecte de 72 km a una velocitat mitjana de 12 km/h. Quant trigarà en fer la mateixa distància a una velocitat de 36 km/h?

Una manera de resoldre el problema és saber quant temps trigaria si anés a una velocitat d'1 km/h, doncs simplement hauríem de dividir aquest temps entre 36. Com la distància a recórrer és de 72 km, està clar que a una velocitat d'1 km/h trigaria 72 hores en fer aquesta distància. Així, a 36 km/h trigarà:

t_36 km/h = 72 : 36 = 2 h

Així, per saber el temps que trigaria en fer els 72 km a una velocitat determinada, simplement hem de dividir 72 entre la velocitat. D'aquesta manera podem fer una taula de valors prenent algunes velocitats i calculant els temps corresponents:

Velocitat (km/h) | 12 | 24 | 36 | 48 | 72 | 144
Temps ( h ) | 6 | 3 | 2 | 1,5 | 1 | 0,5

Podem observar que si augmenta una magnitud l'altra disminueix però amb la mateixa proporció, és a dir, si dupliquem el valor d'una l'altra es redueix a la meitat i si tripliquem el valor d'una l'altra es redueix a la tercera part (a la inversa de la proporcionalitat directa):

- Si passem de 12 km/h a 24 km/h (dupliquem la velocitat), passem de 6 h a 3 h (el temps es redueix a la meitat).
- Si passem de 12 km/h a 36 km/h (tripliquem la velocitat), passem de 6 h a 2 h (el temps es redueix a la tercera part).

En general, si multipliquem una magnitud per un nombre n, l'altra magnitud es divideix per aquest nombre n.

Si multipliquem els valors de la velocitat pels seus valors corresponents de temps, obtenim sempre el mateix resultat (a la inversa que en la proporcionalitat directa):

12 · 6 = 24 · 3 = 36 · 2 = 48 · 1,5 = 72 · 1 = 144 · 0,5 = 72

Si el producte entre valors corresponents de dues magnituds és constant, diem que aquestes magnituds són inversament proporcionals. En aquest cas, com el producte és commutatiu, tan sols hi ha un valor constant (no dos com a la proporcionalitat directa). El que ens dóna en aquest exemple la constant és la distància a recórrer (72 km).

Funcions de proporcionalitat inversa

La relació que acabem de veure entre la velocitat d'un vehicle i el temps que triga en fer 72 km és una funció, doncs es tracta d'una relació de dependència entre aquestes dues magnituds (el temps que triga un vehicle en fer els 72 km depèn de la velocitat a la que hi vagi), en la qual la velocitat és la variable independent i el temps la dependent i on per a cada valor d'aquella li correspon un únic valor d'aquesta.

Les funcions que relacionen dues magnituds inversament proporcionals s'anomenen funcions de proporcionalitat inversa. La funció que acabem de veure entre la velocitat i el temps en recórrer 72 km és una funció d'aquest tipus. Si expressem per t el temps i per v la velocitat, l'equació d'aquesta funció és:

Podem observar que el nombre que es divideix entre la variable v és 72, és a dir, el valor constant que resulta en multiplicar els valors de la velocitat pel temps:

v · t = 72

Si representem en un pla cartesià els punts dels valors de la taula, tenim la gràfica de l'esquerra. S'observa que ara els punts no estan alineats i que si els unim amb una línia (en aquesta funció els podem unir, ja que entre el valor mínim i el màxim les dues variables poden agafar qualsevol valor), la línia no és una recta, sinó que és curvilínia.

Com a totes les funcions, aquesta gràfica ens permet, entre d'altres coses, determinar el temps per a qualsevol valor de velocitat.

Característiques de la funció de proporcionalitat inversa

Segons hem vist a l'exemple de la velocitat i el temps que triga un vehicle en recórrer 72 km, els valors de la variable dependent (temps) els obtenim dividint el valor constant 72 entre els valors de la variable independent. En general, si tenim una funció de proporcionalitat inversa entre dues variables x i y, l'equació d'aquesta funció és:

on k és un valor constant diferent de zero.

La gràfica d'una funció de proporcionalitat inversa té una forma característica que s'anomena hipèrbola, què és una gràfica curvilínia amb dues branques i que no talla ni a l'eix de les X ni al de les Y, com podem veure a la gràfica de la dreta.

Depenent del signe de k, la hipèrbola pot ser creixent o decreixent:

- Si k > 0 la funció és decreixent, com es pot veure a la gràfica de la dreta (vermella) i l'equació és de la forma:

- Si k < 0 la funció és creixent, com es pot veure a la gràfica de la dreta (blava) i l'equació és de la forma:

Una propietat que caracteritza aquesta funció és que cap de les dues variables poden valer mai zero. Ho veurem a l'exemple de la velocitat i el temps que triga un vehicle en fer 72 km. Per fer aquest recorregut de 72 km la velocitat no pot ser nul·la, doncs el temps que trigaria en fer-lo seria infinit; la velocitat pot fer-se indefinidament cada vegada més petita (i el temps es farà alhora cada vegada més gran), però mai la velocitat serà nul·la.

Igualment el temps no podrà ser mai zero, doncs sempre necessitarem un mínim de temps per fer el recorregut; la velocitat pot fer-se indefinidament cada vegada més gran (i el temps es farà alhora cada vegada més petit), però mai serà un temps zero, ja que la velocitat seria infinita.

Com a exemple veurem dues funcions de proporcionalitat inversa:

Per representar-les farem una taula de valors per a cadascuna de les dues funcions:

x | -10 | -5 | -3 | -1 | -0,5 | -0,1 | 0,1 | 0,5 | 1 | 3 | 5 | 10
y | -0,3 | -0,6 | -1 | -3 | -6 | -30 | 30 | 6 | 3 | 1 | 0,6 | 0,3

x | -10 | -5 | -2 | -1 | -0,5 | -0,1 | 0,1 | 0,5 | 1 | 2 | 5 | 10
y | 0,2 | 0,4 | 1 | 2 | 4 | 20 | -20 | -4 | -2 | -1 | -0,4 | -0,2

Si representem els punts obtinguts a les taules i els unim amb una línia, obtenim les gràfiques següents:

Com ja es va comentar, la forma d'aquesta gràfica, que no és una recta sinó què és curvilínia, rep el nom d'hipèrbola i té una sèrie de característiques:

- Té dues branques, una per a valors d'abcissa negatius i una altra per a valors d'abcissa positius.

- No talla l'eix d'ordenades: a mesura que els valors de la variable x s'apropen a zero (i per tant la gràfica s'apropa a l'eix de les Y), els valors de la variable y cada vegada es fan més i més grans en valor absolut, de manera que la gràfica arribaria a tocar l'eix d'ordenades quan x = 0, però aleshores el valor de la y seria enormement gran en valor absolut: infinit.

- No talla l'eix d'abcisses: a mesura que els valors de la variable x es fan més i més grans, els valors de la variable y s'apropen cada vegada més a zero (i per tant la gràfica s'apropa a l'eix de les X), de manera que seria zero quan el valor de la x fos enormement gran en valor absolut: infinit.

- Passa sempre pels punts (1, k), (k, 1), (-1, -k) i (-k, -1).

- A més gran sigui el valor absolut de la constant k, més oberta serà la corba de la gràfica i a més petit sigui el seu valor absolut, més tancada serà.

- Si k és positiva la gràfica és sempre decreixent i la funció es troba en el quadrant I (branca d'abcissa positiva) i el quadrant III (branca d'abcissa negativa).

- Si k és negativa la gràfica és sempre creixent i la funció es troba en el quadrant II (branca d'abcissa negativa) i el quadrant IV (branca d'abcissa positiva).

I ara practica

Pots practicar amb la funció de proporcionalitat inversa a la pràctica Prop_inversa, la qual també la tens accessible a la carpeta Funcions de l'apartat Activitats d'aprenentatge.