Title: Gràfica d'una funció
Course: Introducció a les funcions

Què és la gràfica d'una funció i les seves característiques principals.

Gràfica d'una funció

Gràfica d'una funció

Conèixer la gràfica d'una funció és molt útil si el que volem és obtenir una informació ràpida respecte del comportament de les variables que s'hi representen. Un simple cop d'ull a la gràfica permet obtenir-ne molta informació. Veiem-ho amb un exemple:

La gràfica de l'esquerra representa el nombre de visitants a un centre comercial un diumenge durant les hores d'atenció al públic, de 10 h a 22 h. Amb un cop d'ull d'aquesta gràfica podem observar:

- Al matí, l'afluència de públic augmenta des que el centre comercial obre a les 10 del matí i assoleix un valor màxim de unes 500 persones a les 12 del migdia.

- Després, el nombre de persones que hi va al centre disminueix considerablement, de manera que a les 3 de la tarda arriba al valor més baix en tot el dia: unes 50 persones.

- A partir de les 3 de la tarda, l'afluència de públic torna a pujar molt, de manera que sobre les 7 de la tarda és quan hi ha el nombre màxim de persones en tot el dia: unes 1000 persones, el doble del màxim del migdia.

- A partir de les 7 de la tarda i fins que tanquen a les 10 de la nit, el nombre de visitants no para de disminuir.

A partir d'aquestes observacions de la gràfica, els propietaris d'aquest centre comercial poden concloure dues importants observacions:

a) Hi ha molts més visitants a la tarda que no pas al matí.

b) El fet de tenir obert al migdia no resulta gaire rentable.

Evidentment, es tracta d'una funció, doncs és una relació de dependència entre dues magnituds variables, el nombre de visitants i l'hora del dia, en la qual aquella depèn d'aquesta i de manera que per a cada valor de l'hora del dia, li correspon un únic valor de nombre de visitants. Però, totes les relacions entre dues variables o totes les gràfiques de relacions entre dues variables, són funcions? Ho veurem al següent apartat.

Gràfiques de funcions i gràfiques que no són de funcions

Així, l'exemple anterior és una funció, doncs per a cada valor de la variable independent (hora del dia), li correspon un únic valor de la variable dependent (nombre de visitants). Però en una funció, a un valor de la variable dependent li poden correspondre més d'un valor de la variable independent. A la gràfica del centre comercial podem observar que hi ha valors del nombre de visitants que corresponen a una única hora (en concret tan sols n'hi ha un, el màxim de 1000 visitants a les 19 h), d'altres que a dues hores diferents (com per exemple que els 800 visitants s'assoleixen cap a les 18 h i cap a les 20 h), d'altres que a tres hores diferents (com els 500 visitants que s'assoleixen a les 12 h, cap a les 17 h i cap a les 21 h) i fins i tot n'hi ha que a quatre hores diferents (com els 100 visitants que s'assoleixen cap a les 10:30 h, cap a les 14 h, cap a les 16 h i cap a les 21:30 h).

Veiem ara quines són les gràfiques de les dues relacions següents, la que a cada nombre li assignem el seu quadrat, que té per equació:

i la que a cada nombre li assignem la seva arrel quadrada, que té per equació:

Si observem la gràfica d'aquestes dues relacions, tenim:

- La primera és una funció, doncs a cada valor de la x li correspon un únic valor de la y, com per exemple, si x = 2, y = 2^2 = 4. Però aquest mateix valor de la y té un altre valor de la x, x = - 2, ja que el seu quadrat també és 4.

- En canvi, la segona no és cap funció, doncs té valors de la x amb dos valors de la y, com per exemple si x = 4, y = 2 i y = - 2 (l'arrel quadrada de 4 és 2 perquè 2^2 = 4 i també és - 2, ja que (- 2)^2 = 4). De fet, menys per a x = 0 en que y = 0, la resta de valors de la x tenen dos valors de la y.

Característiques principals de la grafica d'una funció

Les gràfiques de les funcions tenen una sèrie de característiques de les quals tan sols en veurem dues, doncs la resta s'estudien en nivells superiors. Aquestes característiques que estudiarem són:

- Punts d'intersecció amb els eixos de coordenades.
- Creixement i decreixement.

Veiem-les.

Punts d'intersecció amb els eixos de coordenades

Són els punts en què la gràfica de la funció talla els eixos de coordenades. Hi ha funcions que tallen tots dos eixos, d'altres que només en tallen un dels dos i d'altres que no en tallen cap. Així en el gràfic de l'esquerra, la funció blava talla tots dos eixos, el d'abcisses en els punts A i B i el d'ordenades en el punt C; la funció vemella tan sols talla l'eix d'abcisses en el punt D i la verda no en talla cap.

Una funció, si talla l'eix d'ordenades, tan sols ho fa en un punt, mentre que l'eix d'abcisses pot tallar-lo en un o més punts, com la gràfica blava que ho fa en dos punts (A i B).

Si tenim la gràfica de la funció, la determinació d'aquests punts és immediata. Si tenim l'equació, la seva determinació també és fàcil, doncs en tots dos casos es tracta de resoldre una equació:

- Una funció talla l'eix d'abcisses (X) quan la variable dependent és zero —> y = 0. D'aquesta manera ens queda una equació d'una incògnita on aquesta és la variable independent, x. Així per exemple, si considerem la funció que assigna a un nombre ell mateix menys dues unitats, y = x - 2, tenim que talla l'eix de les X en:

és a dir, en el punt A = (2, 0), com es pot observar a la gràfica de la funció y = x - 2.

- Una funció talla l'eix d'ordenades (Y) quan la variable independent és zero —> x = 0. D'aquesta manera ens queda una equació d'una incògnita on aquesta és la variable dependent, y. Com l'equació está expressada en funció de la variable independent, el seu càlcul és immediat, doncs el que hem de calcular és el valor numèric quan x = 0, és a dir, el terme independent. Si considerem la funció d'abans y = x - 2, tenim que talla l'eix de les Y en:

és a dir, en el punt B = (0, - 2), com es pot observar a la gràfica de la funció y = x - 2.

Creixement i decreixement

Una funció és creixent en un tram o interval si en augmentar la variable independent, augmenta la variable dependent; una funció és decreixent en un tram o interval si en augmentar la variable independent, disminueix la variable dependent; una funció és constant en un tram o interval si en augmentar la variable independent la variable dependent es manté en el mateix valor.

Les funcions que tenen per gràfica una recta o són sempre creixents, o són sempre decreixents o són sempre constants. Però la resta de funcions, en general, acostumen a tenir trams o intervals creixents, decreixents i fins i tot constants.

A la gràfica anterior de l'esquerra es poden veure tres rectes, una creixent (vermella), una altra decreixent (blava) i una altra constant (verda); a la gràfica de la dreta veiem una funció amb diferents trams o intervals de creixement. Si considerem el tram que va des de x = - 3 fins a x = 8, tenim:

- Des de x = - 3 fins a x = 1 la funció és decreixent.
- Des de x = 1 fins a x = 4 la funció és creixent.
- Des de x = 4 fins a x = 8 la funció és constant.

En realitat, en x = 1 la funció passa de ser decreixent a ser creixent; en aquest punt no és ni una cosa ni una altra, és el que s'anomena un mínim, concepte que es veurà a tercer d'ESO. Per altra banda, en x = 4 la funció passa de ser creixent a ser constant; en aquest punt no és ni una cosa ni una altra, és el que s'anomena un punt angulós, concepte que es veurà a quart d'ESO.