Title: La funció afí. Ordenada a l'origen
Course: Introducció a les funcions

La funció afí i les seves característiques.

La funció afí

La funció afí

Sigui el següent enunciat: Es vol omplir d'aigua una piscina de 110 m^3 de volum amb una aixeta que té un cabdal de 2 m^3/h. La piscina ja té 10 m^3 d'aigua, així per omplir-la es necessitaran 100 m^3 i el temps serà doncs de 50 hores. Amb aquestes dades podem elaborar una taula de valors dels diferents volums d'aigua que s'assoleixen a diferents temps, entre el valor mínim (0 h) i el màxim (50 h):

Temps ( h ) | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50
Volum (m^3) | 10 | 30 | 50 | 70 | 90 | 110

Podem observar que si augmenta una magnitud, l'altra també ho fa, però no de manera proporcional, és a dir, si una es duplica, l'altra no es duplica i si una es triplica, l'altra no es triplica:
- Si passem de 10 a 20 hores (dupliquem el temps), passem de 30 m^3 a 50 m^3 (el volum augmenta, però no es duplica).
- Si passem de 10 a 30 hores (tripliquem el temps), passem de 30 m^3 a 70 m^3 (el volum augmenta, però no es triplica).

A més, si dividim els valors del temps pels seus valors corresponents del volum (o a l'inrevés), no obtenim el mateix resultat:

És a dir, el temps i el volum no són directament proporcionals. Però si ens hi fixem, podem observar que si no tinguéssim en compte el volum inicial de 10 m^3, què és independent del temps, la relació entre les dues magnituds sí és directament proporcional:

La relació entre aquestes dues magnituds és una funció, ja que es tracta d'una relació de dependència entre elles (el volum d'aigua que té la piscina depèn del temps) en la qual el temps és la variable independent i el volum la dependent i on per a cada valor d'aquella li correspon un únic valor d'aquesta.

Aquesta funció que acabem de veure és una funció afí, que podem definir com una funció que sumant o restant un determinat valor constant a la variable dependent, obtenim uns valors proporcionals a la variable independent.

Si expressem per v el volum d'aigua i per t el temps, l'equació d'aquesta funció és:

v = 2t + 10

Si representem en un pla cartesià els punts dels valors de la taula, tenim la gràfica de l'esquerra. S'observa que els punts estan alineats i que si els unim (es poden unir perfectament, ja que tant la variable temps com la variable volum poden assolir qualsevol valor entre els valors mínim i màxim), obtenim una recta que no passa per l'origen de coordenades (en el nostre exemple un tros de recta, un segment).

Es pot observar que és com si fos la funció v = 2t desplaçada 10 unitats cap amunt.

Aquesta gràfica també ens permet, entre d'altres coses, determinar el volum de la piscina per a qualsevol valor del temps.

Característiques de la funció afí

Podem observar que a l'exemple del volum d'aigua de la piscina en funció del temps, els valors de la variable dependent (volum d'aigua) els obtenim multiplicant per 2 (cabdal de l'aixeta) els valors de la variable independent (temps en hores) i sumant 10 (els metres cúbics inicials d'aigua que contenia la piscina) al resultat del producte (v = 2t + 10). En general, si tenim una funció afí entre dues variables x i y, l'equació d'aquesta funció és:

y = ax + b

on y és la variable dependent, x la dependent i a i b són valors constants diferents de zero que més endavant veurem el seu significat.

La gràfica d'aquesta funció és una recta que no passa per l'origen de coordenades i, per tant, talla l'eix d'ordenades en un punt i l'eix d'abcisses en un altre punt. A més, la gràfica d'una funció afí y = ax + b és paral·lela a la gràfica de la funció lineal y = ax.

Com la funció lineal, depenent del signe del coeficient a, la recta pot ser creixent o decreixent:

- Si a > 0 la funció és creixent, com es pot veure a la gràfica de la dreta (recta vermella) i l'equació és de la forma:

y = ax + b

- Si a < 0 la funció és decreixent, com es pot veure a la gràfica de la dreta (recta blava) i l'equació és de la forma:

y = -ax + b

Evidentment, a no pot ser mai zero, doncs ja no tindríem una funció afí sinó una funció constant en la que la gràfica és una recta paral·lela a l'eix d'abcisses i d'altura b, y = b.

Per altra banda, b tampoc pot ser mai zero, doncs aleshores el que tindríem seria la funció lineal y = ax.

Com a exemple veurem dues funcions afins, la que assigna a cada nombre el seu doble més tres unitats, y = 2x + 3 i la que assigna a cada nombre l'oposat del seu triple menys dues unitats, y = -3x -2. Per representar-les farem una taula de valors per a cadascuna de les dues funcions:

y = 2x + 3

x | - 3 | - 2 | - 1 | 0 | 1 | 2 | 3
y | -3 | -1 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9

y = -3x - 2

x | - 3 | - 2 | - 1 | 0 | 1 | 2 | 3
y | 7 | 4 | 1 | - 2 | - 5 | - 8 | - 11

Com la funció lineal, amb dos valors (punts) ja en tenim prou per dibuixar una recta. Si representem els punts de les taules i els unim amb una línia recta, obtenim les gràfiques següents:

Pendent de la recta

El pendent de la recta de la funció afí és el mateix que el pendent de la recta de la funció lineal, és a dir, és la inclinació de la recta, l'augment o disminució que experimenta la variable dependent quan la variable independent augmenta una unitat.

Com a la funció lineal, també podem dir que el pendent és el quocient entre la distància vertical i la distància horitzontal entre dos punts de la recta.

Així doncs, si tenim l'equació de la funció, el coeficient de la variable x (a) ens dóna el valor del pendent, el qual, com ja es va comentar a la funció lineal, se simbolitza per m:

pendent = m = a

és a dir, que per cada unitat que augmenta la variable x, la variable y ho fa en m unitats.

Si tornem a les dues funcions afins vistes, y = 2x + 3 i y = -3x - 2, en la primera el pendent és m = 2, és a dir, que per cada unitat que augmenta la x, la y augmenta 2 unitats; en la segona el pendent és m = -3, és a dir, per cada unitat que augmenta la variable x la y disminueix 3 unitats. Es pot veure aquest comportament en la gràfica d'aquestes funcions.

Interseccions amb els eixos. L'ordenada a l'origen

La recta d'una funció afí talla sempre els dos eixos de coordenades, l'eix d'abcisses per un punt --> (x_o, 0) i l'eix d'ordenades també per un punt --> (0, y_o ). Els punts d'intersecció d'una recta amb els eixos de coordenades són molt importants per diverses raons. Una d'elles és que si els coneixem podem dibuixar la recta, doncs per dibuixar qualsevol recta amb dos punts en tenim prou.

Com es va veure al tema 4 en la Gràfica d'una funció, si tenim l'expressió algebraica de la funció, trobar aquests dos punts és fàcil, doncs simplement és resoldre una equació d'una incògnita. En el cas de les rectes, encara més fàcil, doncs les equacions són sempre de primer grau.

Punt de tall amb l'eix d'abcisses

Si ens hi fixem amb la gràfica de l'esquerra, la recta talla l'eix de les X quan el valor de la y és zero (y = 0). Així doncs, aquest punt és de la forma (x_o, 0). Si tenim l'equació de la funció, y = ax + b, el que hem de fer és resoldre l'equació de primer grau i una incògnita que resulta de substituir la variable y per zero:

Si considerem les dues funcions vistes, y = 2x + 3 i y = -3x - 2, els punts d'intersecció amb l'eix d'abcisses són:

Punt de tall amb l'eix d'ordenades: l'ordenada a l'origen

Si observem la gràfica anterior, la recta talla l'eix de les Y quan el valor de la x és zero (x = 0). D'aquesta manera, aquest punt és de la forma (0, y_o ). Si tenim l'equació de la funció, y = ax + b, l'única cosa que hem de fer és resoldre l'equació que resulta de substituir la variable x per zero:

És a dir, la recta de la funció afí talla l'eix d'ordenades pel valor d'ordenada indicat al terme independent; aquest valor s'anomena ordenada a l'origen i se simbolitza per n. D'aquesta manera, si el pendent se simbolitza per m i l'ordenada a l'origen per n, l'equació de la funció afí també la podem expressar com:

y = mx + n

Així, si considerem les funcions vistes y = 2x + 3 i y = -3x - 2, l'ordenada a l'origen i el punt d'intersecció amb l'eix de les Y és:

I ara practica

Pots practicar amb la funció afí i amb l'ordenada a l'origen a les pràctiques Afí i Ordenada_origen, les quals també les tens accessibles a la carpeta Funcions de l'apartat Activitats d'aprenentatge (funció afí) i a la carpeta Pendent i ordenada a l'origen de l'apartat Activitats d'aprenentatge (ordenada a l'origen).