Title: Teoria
Course: Matemàtiques 2n ESO 1r T

Nombres decimals

Concepte

Una fracció, de fet, representa també una divisió entre dos nombres. Si fem aquesta divisió obtindrem un nombre decimal o un nombre enter que són equivalents a la fracció.

Tipus de decimals

Decimal exactes:

La característica que els diferencia és que les seves xifres decimals NO són infinites:

 1,23             5,035              2,5

Decimals periòdics purs:

La característica que els diferencia és que les seves xifres decimals SI són infinites i es repeteixen periòdicament:

Decimals periòdics mixtos:

La característica que els diferencia és que les seves xifres decimals SI són infinites i com indica el seu nom, unes xifres es repetiran periòdicament i altres no:

Decimals no exactes i no periòdics:

La característica que els diferencia és que les seves xifres decimals SI són infinites però NO es repetixen periòdicament:

                                                     π 1,248323...

Operacions amb nombres decimals

- Sumar i restar:
Per sumar o restar nombres decimals, ho farem col·locant cada unitat amb el seu corresponent, de tal manera que coincideixin exactament.

- Multiplicar:

Com ho fèiem amb els nombres enters, però al final desplaçarem la coma cap a l'esquerra tantes xifres decimals tinguem en els dos factors que multiplicarem.

- Dividir:

1. Divisions amb el divisor enter

Dividirem igual que ho hem fet fins ara, però en arribar a la coma del dividend el que farem serà posar una coma en el quocient i continuar amb la nostra divisió.

      2. Divisions amb el divisor decimal

Per poder dividir hem d'eliminar aquesta coma del divisor, així que multiplicarem dividend i divisor per la unitat seguida de tants zeros com decimals hagin en el divisor.

El sistema sexagesimal

Veritat que nosaltres comptem de deu en deu?

Doncs no tots ho fan de la mateixa manera, hi ha cultures que compten de 60 en 60. És l'anomenat sistema sexagesimal.

Nosaltres ho utilitzem també quan mesurem el temps o l'amplitud dels angles.

Tipus d'expressions

Es poden expressar com:
- diverses unitats (forma complexa)                 2 h 35 min
- una unitat única (forma incomplexa)             155 min

Operacions en el sistema sexagesimal

Suma

Sumarem cada unitat amb el seu corresponent i després ajustarem, recordant que:

 1 min = 60 s

 1h = 60 min

Resta

Per poder restar una quantitat a una altra hem d'assegurar-nos que la primera és major a la segona, en cas de no ser-ho, hem d'ajustar-la i després restarem normal.

Producte

Per multiplicar farem el mateix que en la suma, primer multiplicarem com sempre i després ajustarem el resultat

Quocient

Per dividir haurem de passar els residus a la unitat següent (multiplicant per 60) i sumar-los amb les quals ja hi hagi (si hi ha)

Els nombres racionals

Són nombres racionals tots aquells nombres que es poden escriure en forma de fracció.

Una fracció es representa per dos nombres enters que s'anomenen numerador i denominador:

Una fracció, representa també una divisió entre dos nombres. Si fem aquesta divisió obtindrem un nombre decimal o un nombre enter que són equivalents a la fracció..

Dues fraccions a/b i c/d són equivalents (tenen igual valor) si a·d=b·c. Exemple: 15/10 i 9/6 són equivalents ja que 15·6=10·9.

Simplificar una fracció és convertir-la en una altra d'equivalent, més senzilla. Per simplificar es divideix el numerador i el denominador pel mateix nombre. Exemple: una fracció simplificada de 6/4 és 3/2.

COMÚ DENOMINADOR

Consisteix en trobar fraccions equivalents a les inicials però totes amb el mateix denominador.

- El denominador comú serà el m.c.m dels denominadors inicials

- Per trobar els numeradors es divideix el m.c.m pel denominador i es multiplica pel numerador.

Exemple:

Volem reduir a comú denominador i

  1. Calculem el m.c.m (12,8)

                  12=3·2²·1
                  8=2³·1
                  Recordem factors comuns i no comuns elevats a l'exponent més gran, per tant el       m.c.m(12,8)=3·2³=3·8=24.

                  El denominador comú és 24

               2. Ara calculem els numeradors:

                   dividim 24:12=2---->multipliquem pel numerador---->2·7=14---->

                   dividim 24:8=3---->multipliquem pel numerador---->3·3=9---->

                Ja tenim les dues fraccions equivalents a les primeres però amb denominador comú  i

REPRESENTACIÓ A LA RECTA NUMÈRICA

Per representar una fracció sobre la recta cal fer tantes divisions entre cada dues unitats de la recta com ens diu el denominador, i la fracció estarà en la divisió apropiada començant a comptar des del zero.

Fracció pròpia

Fracció impròpia

Imatges de Jaume Bartolí Guillemat sota llicència CC BY-NC-SA 3.0

Per ordenar dues fraccions:

- Es redueixen a mínim comú múltiple (mcm)
- La fracció amb el numerador més gran és la fracció més gran de les dues

Operacions amb fraccions

- Suma i resta

Amb el mateix denominador

El resultat és una fracció amb el mateix denominador i al numerador la suma (o resta) dels numeradors a c + b c = a + b c.

Exemple

Amb diferent denominador

Convertir-les en les seves fraccions equivalents de forma que totes tinguin el mateix denominador comú. Per tant, trobem el mcm dels denominadors que serà el nou denominador. Cal simplificar el resultat final.

Exemple

- Multiplicació

La multiplicació de dues o més fraccions és una nova fracció que té per numerador el producte dels numeradors i per denominador el producte de denominadors. Cal simplificar el resultat.

Exemples

- Divisió

Dividir dues fraccions és el mateix que multiplicar la primera fracció per la inversa de la segona. La manera més ràpida de dividir dues fraccions és multiplicant en creu els seus elements i simplificant el resultat final.

Exemples

- 5 12 : 2 7 = 5·7 12 · 2 = 35 24
- 5 8 : - 15 2 = 5 · 2 8 · - 15 = - 10 120 = - 1 12

Potències i fraccions

Potència d’una fracció

Per fer una potència d'una fracció cal fer la mateixa potència del numerador i del denominador.

Potència d’un producte

Primer fem el producte i després fem la potència del numerador i del denominador.

Potència d’un quocient

Primer fem la divisió i després fem la potència del numerador i del denominador.

Producte de potències

Deixem la base igual i sumem exponents.

Quocient de potències

Deixem la base igual i restem exponents.

Potències d’exponent zero

Qualsevol base elevada a zero dóna sempre u.

Potències d’exponent negatiu

Per a obtenir l´exponent positiu invertim la fracció.

Potència d’una potència

Deixem la base igual i multipliquem els exponents.

Conversió fracció-decimal

- Pas de fracció a decimal

Per trobar el nombre decimal associat a una fracció cal fer la divisió que aquesta representa, de la qual pot sortir un decimal exacte o un decimal periòdic.

- Pas de decimal exacte a fracció

La fracció tindrà en el numerador el nombre sense la coma decimal i en el denominador la potència de 10 amb exponent el nombre de xifres decimals.

- Pas de decimal periòdic a fracció

- Decimals periòdics purs.

Procedim com segueix amb el nombre

n = 2'55555...; multipliquem per la potència de 10 segons el nombre de xifres del període : 10n =25'55555...

Restem les dues expressions 10n - n = 23 → 9n = 23 →

- Decimals periòdics mixtos.

Seguim aquests passos amb el nombre:

n = 2'854545454...; multipliquem per 10 per convertir-lo en periòdic pur: 10n = 28'54545454...

Multipliquem ara per la potència de 10 segons el nombre de xifres del període (100):

1000n = 2854'545454...

Restem les dues expressions 1000n - 10n = 2854'545454... - 28'545454... = 2854 - 28 = 2826

→ 990n = 2826 →

- Fracció generatriu

A la fracció irreduïble que dóna lloc a un decimal.