Title: MAT. Matriu inversa
Course: Matemàtiques de 3r d'ESO

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Q: Siguin les matrius $$ A=\left[ \begin{array}{ccc} 2 & a & {{=1*{i}}} \\ 1 & b & {{=4*{i}}} \\ 3 & c & {{=5*{i}}} \\ \end{array} \right] $$ , $$ B=\left[ \begin{array}{ccc} {{=5*{j}}} & b & 8 \\ {{=1*{j}}} & c & 3 \\ {{=4*{j}}} & a & 3 \\ \end{array} \right] $$ , $$ C=\left[ \begin{array}{ccc} {{=2*{i}}} & {{=4*{i}}} & {{=7*{i}*{j}}} \\ -1 & 5 & {{=5*{j}}} \\ -b & -a & {{=-2*{j}}} \\ \end{array} \right] $$ , on a, b i c són paràmetres reals. Calculeu el valor d’aquests paràmetres perquè cap de les tres matrius tingui inversa.
- a=-1 , b=3 , c=2
- a=-3 , b=7 , c=2
- a={=-{j}} , b={={i}-2} , c={={i}+4}
- a={=-{j}-2} , b={={i}-1} , c={={i}+4}
- a={=-{j}+1} , b={={i}} , c={={i}+4}
- a={=-{j}+3} , b={={i}+1} , c={=-{i}-4}
- a={={j}-1} , b={=-{i}+1} , c={=-{i}-4}
- a={=-{j}-6} , b={={i}+8} , c={=-{i}-4}
- No hi ha solució per a,b,c
- Hi ha diverses solucions per a,b,c
- Les matrius A,B,C sempre tenen inversa
- a=0 , b=0 , c=0
- a={=-{j}+8} , b={={i}+7} , c={={i}-6}
- a={=-{j}+10} , b={={i}+8} , c={={i}-6}
A: a=-1 , b=3 , c=2

Q: Sigui $$ A=\left( \begin{array}{ccc} \frac{{=(1-2*{i})}}{\sqrt 2} & \frac{{=(1-2*{i})}}{\sqrt 3} & \frac{{=(1-2*{i})}}{\sqrt 6} \\ 0 & \frac{{=(1-2*{i})}}{\sqrt 3} & \frac{{=-2*(1-2*{i})}}{\sqrt 6} \\ {{={k}*(1-2*{i})}}p & \frac{{=-(1-2*{i})}}{\sqrt 3} & \frac{{=-(1-2*{i})}}{\sqrt 6} \\ \end{array} \right) $$

a) Què significa que la matriu B sigui la matriu inversa de A?

b) Trobeu el valor del paràmetre p perquè la matriu inversa de A i la matriu transposada de A coincideixin.

Nota: No aproximeu les arrels mitjançant valors amb decimals; treballeu amb els radicals.
- p= (arrel2)/{=1*{k}}
- p=(arrel2)/{=4*{k}}
- p=(arrel2)/{=3*{k}}
- p=(arrel2)/{=2*{k}}
- p=-(arrel2)/{=1*{k}}
- p=-(arrel2)/{=2*{k}}
- p=-(arrel2)/{=3*{k}}
- p=-(arrel2)/{=4*{k}}
- p=(arrel3)/{=1*{k}}
- p=(arrel3)/{=2*{k}}
- p=(arrel3)/{=3*{k}}
- p=(arrel3)/{=4*{k}}
- p=-(arrel3)/{=1*{k}}
- p=-(arrel3)/{=2*{k}}
- p=-(arrel3)/{=3*{k}}
- p=-(arrel3)/{=4*{k}}
- p=(arrel6)/{=1*{k}}
- p=(arrel6)/{=2*{k}}
- p=(arrel6)/{=3*{k}}
- p=(arrel6)/{=4*{k}}
- p=-(arrel6)/{=1*{k}}
- p=-(arrel6)/{=2*{k}}
- p=-(arrel6)/{=2*{k}}
- p=-(arrel6)/{=3*{k}}
- p=-(arrel6)/{=4*{k}}
- p=1
- p=-1
- p=0
- No hi ha solució per p
- Hi ha diverses solucions per p
A: p=(arrel2)/{=2*{k}} (formula; values not in the backup's text)

Q: Donada la matriu $$ M=\left( \begin{array}{ccc} k+{{p}} & {{a}} & {{b}}\\0 & k-{{q}} & {{p}}\\0 & k-{{q}} & -k\\ \end{array} \right) $$

a) Calculeu els valors del paràmetre k per als quals la matriu M no és invertible.

b) Per a k=0, calculeu M^-1

Possibles opcions apartat (b):

A.  $$ M^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{{p}} & 0 & 0\\ -\frac{{b}}{{={p}*{p}}} & 0 & \frac{1}{{p}} \\ \frac{{={a}*{p}+{b}*{q}}}{{={p}*{p}*{q}}} & -\frac{1}{{q}} & -\frac{1}{{p}}\\ \end{array} \right)$$

B.  $$ M^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{{p}} & \frac{{b}}{{={p}*{p}}} & \frac{{={a}*{p}+{b}*{q}}}{{={p}*{p}*{q}}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{{q}} \\ 0 & -\frac{1}{{p}} & -\frac{1}{{p}} \\ \end{array} \right)$$

C.  $$ M^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} -\frac{1}{{p}} & \frac{{b}}{{={p}*{p}}} & -\frac{{={a}*{p}+{b}*{q}}}{{={p}*{p}*{q}}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{{q}} \\ 0 & -\frac{1}{{p}} & \frac{1}{{p}} \\ \end{array} \right)$$

D.  $$ M^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{{p}} & -\frac{{b}}{{={p}*{p}}} & \frac{{={a}*{p}+{b}*{q}}}{{={p}*{p}*{q}}} \\ 0 & 0 & -\frac{1}{{q}} \\ 0 & \frac{1}{{p}} & -\frac{1}{{p}} \\ \end{array} \right)$$

E.  $$ M^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} -\frac{1}{{p}} & 0 & 0 \\ -\frac{{b}}{{={p}*{p}}} & 0 & \frac{1}{{p}} \\ -\frac{{={a}*{p}+{b}*{q}}}{{={p}*{p}*{q}}} & -\frac{1}{{q}} & \frac{1}{{p}}\\ \end{array} \right)$$

F.  $$ M^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{{p}} & 0 & 0 \\ \frac{{b}}{{={p}*{p}}} & 0 & -\frac{1}{{p}} \\ \frac{{={a}*{p}+{b}*{q}}}{{={p}*{p}*{q}}} & \frac{1}{{q}} & -\frac{1}{{p}}\\ \end{array} \right)$$

G.  $$ M^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} -\frac{1}{{p}} & 0 & 0 \\ \frac{{b}}{{={p}*{p}}} & 0 & -\frac{1}{{p}} \\ -\frac{{={a}*{p}+{b}*{q}}}{{={p}*{p}*{q}}} & \frac{1}{{q}} & \frac{1}{{p}}\\ \end{array} \right)$$
- apartat (a): k=-{p} k={q}
- apartat (a): k=-{p} k=-{q}
- apartat (a): k={p} k=-{q}
- apartat (a): k={p} k={q}
- apartat (a): k={a} k={b}
- apartat (a): k={=-{a}} k={b}
- apartat (a): k={a} k={=-{b}}
- apartat (a): k={=-{a}} k={=-{b}}
- apartat (a): k={=1+{a}} k={={p}-2}
- apartat (a): k={=-1-{a}} k={={p}-2}
- apartat (a): k={=1+{a}} k={=-{p}+2}
- apartat (a): k={=-1-{a}} k={=-{p}+2}
- apartat (b): A
- apartat (b): B
- apartat (b): C
- apartat (b): D
- apartat (b): E
- apartat (b): F
- apartat (b): G
A: apartat (a): k=-{p} k={q} (formula; values not in the backup's text) / apartat (b): D

Q: Sabem que el vector $$({k},{=-{k}*{k}+{k}},{={k}*{k}*{k}-4*{k}*{k}+2*{k}+3})$$ es una solució del sistema

$$\begin{array}{lll} ax+by+cz=a+c \\ bx-y+bz=a-b-c\\ cx-by+2z=b\\ \end{array} $$

Calculeu el valor dels paràmetres a, b i c.
- a={=2*pow({k},9)-24*pow({k},8)+109*pow({k},7)-216*pow({k},6)+103*pow({k},5)+235*pow({k},4)-233*pow({k},3)-116*pow({k},2)+108*{k}+53} , b={=2*pow({k},6)-16*pow({k},5)+41*pow({k},4)-30*pow({k},3)-21*pow({k},2)+22*{k}-5} , c={=-2*pow({k},7)+18*pow({k},6)-55*pow({k},5)+55*pow({k},4)+32*pow({k},3)-75*pow({k},2)+3*{k}+24}
- a={=2*pow({k},9)-24*pow({k},8)+109*pow({k},7)-216*pow({k},6)+103*pow({k},5)+235*pow({k},4)-233*pow({k},3)-116*pow({k},2)+108*{k}+40} , b={=2*pow({k},6)-16*pow({k},5)+41*pow({k},4)-30*pow({k},3)-21*pow({k},2)+22*{k}+7} , c={=-2*pow({k},7)+18*pow({k},6)-55*pow({k},5)+55*pow({k},4)+32*pow({k},3)-75*pow({k},2)+3*{k}+24}
- a={=2*pow({k},9)-24*pow({k},8)+109*pow({k},7)-216*pow({k},6)+103*pow({k},5)+235*pow({k},4)-233*pow({k},3)-116*pow({k},2)+108*{k}+48} , b={=2*pow({k},6)-16*pow({k},5)+41*pow({k},4)-30*pow({k},3)-21*pow({k},2)+22*{k}+6} , c={=-2*pow({k},7)+18*pow({k},6)-55*pow({k},5)+55*pow({k},4)+32*pow({k},3)-75*pow({k},2)+3*{k}+24}
- a={=2*pow({k},9)-24*pow({k},8)+109*pow({k},7)-216*pow({k},6)+103*pow({k},5)+235*pow({k},4)-233*pow({k},3)-116*pow({k},2)+108*{k}+35} , b={=2*pow({k},6)-16*pow({k},5)+41*pow({k},4)-30*pow({k},3)-21*pow({k},2)+22*{k}+2} , c={=-(-2*pow({k},7)+18*pow({k},6)-55*pow({k},5)+55*pow({k},4)+32*pow({k},3)-75*pow({k},2)+3*{k}+24)}
- a={=2*pow({k},9)-24*pow({k},8)+109*pow({k},7)-216*pow({k},6)+103*pow({k},5)+235*pow({k},4)-233*pow({k},3)-116*pow({k},2)+108*{k}+37} , b={=2*pow({k},6)-16*pow({k},5)+41*pow({k},4)-30*pow({k},3)-21*pow({k},2)+22*{k}+5} , c={=-(-2*pow({k},7)+18*pow({k},6)-55*pow({k},5)+55*pow({k},4)+32*pow({k},3)-75*pow({k},2)+3*{k}+24)}
- a={=-(2*pow({k},9)-24*pow({k},8)+109*pow({k},7)-216*pow({k},6)+103*pow({k},5)+235*pow({k},4)-233*pow({k},3)-116*pow({k},2)+108*{k}+35+2)} , b={=2*pow({k},6)-16*pow({k},5)+41*pow({k},4)-30*pow({k},3)-21*pow({k},2)+22*{k}-8} , c={=-(-2*pow({k},7)+18*pow({k},6)-55*pow({k},5)+55*pow({k},4)+32*pow({k},3)-75*pow({k},2)+3*{k}+24)}
- No existeixen a,b,c
- Hi ha diverses solucions per a,b,c
- Cap d'aquestes solucions
- a={k} , b={=-{k}*{k}+{k}} , c={=-{k}*{k}*{k}-4*{k}*{k}+2*{k}+3}
- a={=-{k}} , b={={k}*{k}-{k}} , c={={k}*{k}*{k}+4*{k}*{k}-2*{k}-3}
- a=0 , b=0 , c=0
- a={=2*pow({k},9)-24*pow({k},8)+109*pow({k},7)-216*pow({k},6)+103*pow({k},5)+235*pow({k},4)-233*pow({k},3)-116*pow({k},2)+108*{k}+51} , b={=2*pow({k},6)-16*pow({k},5)+41*pow({k},4)-30*pow({k},3)-21*pow({k},2)+22*{k}+10} , c={=-2*pow({k},7)+18*pow({k},6)-55*pow({k},5)+55*pow({k},4)+32*pow({k},3)-75*pow({k},2)+3*{k}+19}
- a={=2*pow({k},9)-24*pow({k},8)+109*pow({k},7)-216*pow({k},6)+103*pow({k},5)+235*pow({k},4)-233*pow({k},3)-116*pow({k},2)+108*{k}+25} , b={=2*pow({k},6)-16*pow({k},5)+41*pow({k},4)-30*pow({k},3)-21*pow({k},2)+22*{k}+19} , c={=-2*pow({k},7)+18*pow({k},6)-55*pow({k},5)+55*pow({k},4)+32*pow({k},3)-75*pow({k},2)+3*{k}+19}
- a={=2*pow({k},9)-24*pow({k},8)+109*pow({k},7)-216*pow({k},6)+103*pow({k},5)+235*pow({k},4)-233*pow({k},3)-116*pow({k},2)+108*{k}+28} , b={=2*pow({k},6)-16*pow({k},5)+41*pow({k},4)-30*pow({k},3)-21*pow({k},2)+22*{k}} , c={=-2*pow({k},7)+18*pow({k},6)-55*pow({k},5)+55*pow({k},4)+32*pow({k},3)-75*pow({k},2)+3*{k}+19}
- a={=-(2*pow({k},9)-24*pow({k},8)+109*pow({k},7)-216*pow({k},6)+103*pow({k},5)+235*pow({k},4)-233*pow({k},3)-116*pow({k},2)+108*{k}+28)} , b={=-(2*pow({k},6)-16*pow({k},5)+41*pow({k},4)-30*pow({k},3)-21*pow({k},2)+22*{k})} , c={=-(-2*pow({k},7)+18*pow({k},6)-55*pow({k},5)+55*pow({k},4)+32*pow({k},3)-75*pow({k},2)+3*{k}+19)}
- a={=-(2*pow({k},9)-24*pow({k},8)+109*pow({k},7)-216*pow({k},6)+103*pow({k},5)+235*pow({k},4)-233*pow({k},3)-116*pow({k},2)+108*{k}+30)} , b={=-(2*pow({k},6)-16*pow({k},5)+41*pow({k},4)-30*pow({k},3)-21*pow({k},2)+22*{k})+3} , c={=-(-2*pow({k},7)+18*pow({k},6)-55*pow({k},5)+55*pow({k},4)+32*pow({k},3)-75*pow({k},2)+3*{k}+19)}
- a={=-(2*pow({k},9)-24*pow({k},8)+109*pow({k},7)-216*pow({k},6)+103*pow({k},5)+235*pow({k},4)-233*pow({k},3)-116*pow({k},2)+108*{k}+29)} , b={=-(2*pow({k},6)-16*pow({k},5)+41*pow({k},4)-30*pow({k},3)-21*pow({k},2)+22*{k})+7} , c={=-(-2*pow({k},7)+18*pow({k},6)-55*pow({k},5)+55*pow({k},4)+32*pow({k},3)-75*pow({k},2)+3*{k}+19)}
A: a={=2*pow({k},9)-24*pow({k},8)+109*pow({k},7)-216*pow({k},6)+103*pow({k},5)+235*pow({k},4)-233*pow({k},3)-116*pow({k},2)+108*{k}+48} , b={=2*pow({k},6)-16*pow({k},5)+41*pow({k},4)-30*pow({k},3)-21*pow({k},2)+22*{k}+6} , c={=-2*pow({k},7)+18*pow({k},6)-55*pow({k},5)+55*pow({k},4)+32*pow({k},3)-75*pow({k},2)+3*{k}+24} (formula; values not in the backup's text)

Q: Si tenim la matriu invertible $$A$$ i l’equació $$X\cdot A+B=C$$

a) Aïlleu la matriu $$X$$

b) Trobeu la matriu $$X$$ quan $$ A=\left( \begin{array}{ccc} {{a1}} & {{a2}}\\{{a3}} & {{a4}}\\ \end{array} \right) $$ ,  $$ B=\left( \begin{array}{ccc} {{b1}} & {{b2}}\\{{b3}} & {{b4}}\\ \end{array} \right) $$ ,  $$ C=\left( \begin{array}{ccc} {{c1}} & {{c2}}\\{{c3}} & {{c4}}\\ \end{array} \right) $$

Opció 1 apartat (a):     $$X=(B-C)\cdot A^{-1}$$

Opció 2 apartat (a):     $$X=(C-B)\cdot A^{-1}$$

Opció 3 apartat (a):     $$X=A^{-1} \cdot (C-B)$$

Opció 4 apartat (a):     $$X=A^{-1}\cdot (B-C)\cdot A^{-1}$$

Opció 5 apartat (a):     $$X=(C-B) \cdot A$$

Opció 6 apartat (a):     $$X=(B-C)\cdot A$$

Opció 7 apartat (a):     $$X=A\cdot(C-B)$$

Opció 8 apartat (a):     $$X=A\cdot(B-C)\cdot A$$

Opció 9 apartat (a):     $$X=\frac{C-B}{A}$$

Opció 10 apartat (a):     $$X=\frac{B-C}{A}$$

Opció 1 apartat (b):     $$\left( \begin{array}{ccc} {=1+({a3}*{b2}-{a3}*{c2}-{a4}*{b1}+{a4}*{c1})/({a1}*{a4}-{a2}*{a3})} & {=(-{a1}*{b2}+{a1}*{c2}+{a2}*{b1}-{a2}*{c1})/({a1}*{a4}-{a2}*{a3})} \\ {=({a3}*{b4}-{a3}*{c4}-{a4}*{b3}+{a4}*{c3})/({a1}*{a4}-{a2}*{a3})} & {=2-(-{a1}*{b4}+{a1}*{c4}+{a2}*{b3}-{a2}*{c3})/({a1}*{a4}-{a2}*{a3})}\\ \end{array} \right)$$

Opció 2 apartat (b):     $$\left( \begin{array}{ccc} {=-({a3}*{b2}-{a3}*{c2}-{a4}*{b1}+{a4}*{c1})/({a1}*{a4}-{a2}*{a3})} & {=-(-{a1}*{b2}+{a1}*{c2}+{a2}*{b1}-{a2}*{c1})/({a1}*{a4}-{a2}*{a3})} \\  {=-({a3}*{b4}-{a3}*{c4}-{a4}*{b3}+{a4}*{c3})/({a1}*{a4}-{a2}*{a3})} & {=(-{a1}*{b4}+{a1}*{c4}+{a2}*{b3}-{a2}*{c3})/({a1}*{a4}-{a2}*{a3})}\\ \end{array} \right)$$

Opció 3 apartat (b):     $$\left( \begin{array}{ccc} {=-({a3}*{b2}-{a3}*{c2}-{a4}*{b1}+{a4}*{c1})/({a1}*{a4}-{a2}*{a3})} & {=(-{a1}*{b2}+{a1}*{c2}+{a2}*{b1}-{a2}*{c1})/({a1}*{a4}-{a2}*{a3})}  \\ {=-({a3}*{b4}-{a3}*{c4}-{a4}*{b3}+{a4}*{c3})/({a1}*{a4}-{a2}*{a3})} & {=(-{a1}*{b4}+{a1}*{c4}+{a2}*{b3}-{a2}*{c3})/({a1}*{a4}-{a2}*{a3})}\\ \end{array} \right)$$

Opció 4 apartat (b):     $$\left( \begin{array}{ccc} {=({a3}*{b2}-{a3}*{c2}-{a4}*{b1}+{a4}*{c1})/({a1}*{a4}-{a2}*{a3})} & {=-(-{a1}*{b2}+{a1}*{c2}+{a2}*{b1}-{a2}*{c1})/({a1}*{a4}-{a2}*{a3})} \\  {=({a3}*{b4}-{a3}*{c4}-{a4}*{b3}+{a4}*{c3})/({a1}*{a4}-{a2}*{a3})} & {=-(-{a1}*{b4}+{a1}*{c4}+{a2}*{b3}-{a2}*{c3})/({a1}*{a4}-{a2}*{a3})}\\ \end{array} \right)$$

Opció 5 apartat (b):     $$ \left( \begin{array}{ccc} {=({a3}*{b2}-{a3}*{c2}-{a4}*{b1}+{a4}*{c1})/({a1}*{a4}-{a2}*{a3})} & {=(-{a1}*{b2}+{a1}*{c2}+{a2}*{b1}-{a2}*{c1})/({a1}*{a4}-{a2}*{a3})}\\{=({a3}*{b4}-{a3}*{c4}-{a4}*{b3}+{a4}*{c3})/({a1}*{a4}-{a2}*{a3})} & {=(-{a1}*{b4}+{a1}*{c4}+{a2}*{b3}-{a2}*{c3})/({a1}*{a4}-{a2}*{a3})}\\ \end{array} \right) $$

Opció 6 apartat (b):     $$\left( \begin{array}{ccc} {=3-({a3}*{b2}-{a3}*{c2}-{a4}*{b1}+{a4}*{c1})/({a1}*{a4}-{a2}*{a3})} & {=-(-{a1}*{b2}+{a1}*{c2}+{a2}*{b1}-{a2}*{c1})/({a1}*{a4}-{a2}*{a3})} \\  {=2+({a3}*{b4}-{a3}*{c4}-{a4}*{b3}+{a4}*{c3})/({a1}*{a4}-{a2}*{a3})} & {=1-(-{a1}*{b4}+{a1}*{c4}+{a2}*{b3}-{a2}*{c3})/({a1}*{a4}-{a2}*{a3})}\\ \end{array} \right)$$
- apartat (a): Opció {=({a1}-{a1}+1)/({a1}-{a1}+1)}
- apartat (a): Opció 2
- apartat (a): Opció 3
- apartat (a): Opció 4
- apartat (a): Opció 5
- apartat (a): Opció 6
- apartat (a): Opció 7
- apartat (a): Opció 8
- apartat (a): Opció 9
- apartat (a): Opció 10
- apartat (a): No es pot aïllar X
- apartat (b): Opció {=({a1}-{a1}+1)/({a1}-{a1}+1)}
- apartat (b): Opció 2
- apartat (b): Opció 3
- apartat (b): Opció 4
- apartat (b): Opció 5
- apartat (b): Opció 6
A: apartat (a): Opció 2 / apartat (b): Opció 5