Title: MAT. Posicions relatives a l'espai
Course: Matemàtiques de 3r d'ESO

Q: Donats tres plan $$A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$$ , $$A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$$ , $$A_3x+B_3y+C_3z+D_3=0$$ si considerem les matrius

$$ M=\left( \begin{array}{ccc} A_1 & B_1 & C_1\\A_2 & B_2 & C_2\\A_3 & B_3 & C_3\\ \end{array} \right) $$    i    $$ \bar{M}=\left( \begin{array}{ccc} A_1 & B_1 & C_1 & D_1\\A_2 & B_2 & C_2 & D_2\\A_3 & B_3 & C_3 & D_3\\ \end{array} \right) $$

podem tenir les següents posicions relatives:

[Image] | rang $$M$$ =[...] rang $$\bar{M}$$=[...]
[Image] | rang $$M$$ =[...] rang $$\bar{M}$$=[...]
[Image] | rang $$M$$ =[...] rang $$\bar{M}$$=[...]
[Image] | rang $$M$$ =[...] rang $$\bar{M}$$=[...]
[Image] | rang $$M$$ =[...] rang $$\bar{M}$$=[...]
[Image] | rang $$M$$ =[...] rang $$\bar{M}$$=[...]
[Image] | rang $$M$$ =[...] rang $$\bar{M}$$=[...]
[Image] | rang $$M$$ =[...] rang $$\bar{M}$$=[...]
A: 2; 3; 1; 1; 2; 3; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 1; 2

Q: Trobeu $$k$$ perquè el pla $${=2*{v3}}x+{B}y+kz+{D}=0$$ i la recta $$\frac{x-{p1}}{{v1}}=\frac{y+{p2}}{{=-3*{v3}}}=\frac{z-{p3}}{{v3}}$$ siguin paral·lels
A: -2*{v1}+3*{B} (formula; values not in the backup's text)

Q: Donats el pla $$A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$$ i la recta $${A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \brace A_3x+B_3y+C_3z+D_3=0}$$   si considerem les matrius

$$ M=\left( \begin{array}{ccc} A_1 & B_1 & C_1\\A_2 & B_2 & C_2\\A_3 & B_3 & C_3\\ \end{array} \right) $$    i    $$ \bar{M}=\left( \begin{array}{ccc} A_1 & B_1 & C_1 & D_1\\A_2 & B_2 & C_2 & D_2\\A_3 & B_3 & C_3 & D_3\\ \end{array} \right) $$

podem tenir les següents posicions relatives:

[Image] | rang $$M$$ =[...] rang $$\bar{M}$$=[...]
[Image] | rang $$M$$ =[...] rang $$\bar{M}$$=[...]
[Image] | rang $$M$$ =[...] rang $$\bar{M}$$=[...]
A: 2; 3; 2; 2; 3; 3

Q: Donades dues rectes $${ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \brace A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0}$$  i  $${A_3x+B_3y+C_3z+D_3=0 \brace A_4x+B_4y+C_4z+D_4=0}$$ si considerem les matrius

$$ M=\left( \begin{array}{ccc} A_1 & B_1 & C_1\\A_2 & B_2 & C_2\\A_3 & B_3 & C_3\\A_4 & B_4 & C_4\\ \end{array} \right) $$    i    $$ \bar{M}=\left( \begin{array}{ccc} A_1 & B_1 & C_1 & D_1\\A_2 & B_2 & C_2 & D_2\\A_3 & B_3 & C_3 & D_3\\A_4 & B_4 & C_4 & D_4\\ \end{array} \right) $$

podem tenir les següents posicions relatives:

[Image] | rang $$M$$ =[...] rang $$\bar{M}$$=[...]
[Image] | rang $$M$$ =[...] rang $$\bar{M}$$=[...]
[Image] | rang $$M$$ =[...] rang $$\bar{M}$$=[...]
[Image] | rang $$M$$ =[...] rang $$\bar{M}$$=[...]
A: 3; 3; 2; 2; 3; 4; 2; 3

Q: Trobeu $$k$$ perquè la recta $$r: \left\{ \begin{array}{ccc} x=4+2\lambda \\  y=-7-3\lambda \\  z= 6\lambda \\ \end{array} \right\}$$ i el pla $$\pi : {a}x+{b}y+kz=0$$  siguin perpendiculars
A: (2*{a}-3*{b})/6 (formula; values not in the backup's text)

Q: Donats dos plans $$A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$$ , $$A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$$ si considerem les matrius

$$ M=\left( \begin{array}{ccc} A_1 & B_1 & C_1\\A_2 & B_2 & C_2\\ \end{array} \right) $$    i    $$ \bar{M}=\left( \begin{array}{ccc} A_1 & B_1 & C_1 & D_1\\A_2 & B_2 & C_2 & D_2\\ \end{array} \right) $$

podem tenir les següents posicions relatives:

[Image] | rang $$M$$ =[...] rang $$\bar{M}$$=[...] $$\frac{A_1}{A_2}$$,$$\frac{B_1}{B_2}$$,$$\frac{C_1}{C_2}$$,$$\frac{D_1}{D_2}$$ [...]
[Image] | rang $$M$$ =[...] rang $$\bar{M}$$=[...] $$\frac{A_1}{A_2}$$,$$\frac{B_1}{B_2}$$,$$\frac{C_1}{C_2}$$,$$\frac{D_1}{D_2}$$ [...]
[Image] | rang $$M$$ =[...] rang $$\bar{M}$$=[...] $$\frac{A_1}{A_2}$$,$$\frac{B_1}{B_2}$$,$$\frac{C_1}{C_2}$$,$$\frac{D_1}{D_2}$$ [...]
A: 1; 1; les quatre fraccions iguals; 2; 2; no totes les tres primeres fraccions iguals; 1; 2; les tres primeres fraccions iguals però no la quarta
Gap 3 offers: les tres primeres fraccions iguals però no la quarta; les quatre fraccions iguals; no totes les tres primeres fraccions iguals; cap fracció igual; dues fraccions iguals i dues diferents
Gap 6 offers: les tres primeres fraccions iguals però no la quarta; les quatre fraccions iguals; no totes les tres primeres fraccions iguals; cap fracció igual; dues fraccions iguals i dues diferents
Gap 9 offers: les tres primeres fraccions iguals però no la quarta; les quatre fraccions iguals; no totes les tres primeres fraccions iguals; cap fracció igual; dues fraccions iguals i dues diferents

Q: [Image: Tres plans]

Considerem les equacions implícites i indiquem amb M la matriu dels coeficients i amb M' la matriu M ampliada amb els termes independents
- rang M =2 (amb dues files proporcionals) rang M'=3 | Esquema 2
- rang M =2 (sense proporcionalitat de files) rang M'=2 | Esquema 1
- rang M = 2 (sense proporcionalitat de files) rang M'=3 | Esquema 3
- rang M = 3 rang M'=3 | Esquema 4