Title: MAT. Volum
Course: Matemàtiques de 3r d'ESO

Q: Calculeu el volum del cos, sabent que r={r} ,  t={t}  i  s={s}
[Image: piràmide]
A: 5*{t}*{s}*{r}/6 (formula; values not in the backup's text)

Q: Aquests dos cossos tenen la mateixa amplada i la mateixa alçada. Quants cops és més gran el volum del primer respecte del segon?
[Image: cilindre_con]
A: 3 / tres

Q: Calculeu el volum del cos, sabent que t={t}  i  s={s}
 [Image: cilindre]
A: 3.141592654*{s}*{s}*{t} (formula; values not in the backup's text)

Q: Un magatzem té forma de prisma rectangular, com mostra la figura. Un instal·lador d’aire condicionat ha rebut l’encàrrec de posar-hi aparells per condicionar-lo.

{c} m | [Image] | {b} m
 | {a} m |

A. Si l’instal·lador cobra {pv} € per cada m^3 de volum, quant costarà condicionar el magatzem?

B. Si el preu de pintar les parets és de {pa} € per m^2, quant costarà pintar les quatre parets?

[Responeu ApartatA,ApartatB separat per comes, sense espais ni unitats. Per exemple si les respostes són 1000€ i 2000€, escriviu 1000,2000]
A: {pv}*{a}*{b}*{c}+{pa}*(2*({a}+{b})*{c})/10000 (formula; values not in the backup's text)

Q: Calcula el volum del següent cos

 | {={b1}+{k}} |
{=2*{m}} | [Image] | {hb}
 | {b1} |
A: {m}*({b1}+{b1}+{k})*{hb} (formula; values not in the backup's text)

Q: Calculeu el volum d'aquest llapis.

{={k}+{b}+{r}} mm |
[Image] | {=2*{r}} mm
{b} mm |
A: 3.141592654*{r}*{r}*({k}/3+{b}+2/3*{r}) (formula; values not in the backup's text)

Q: Una garrafa té forma ortoèdrica de costats {a}x{b}x{c} cm. Quants gots cilíndrics de {h} cm d'alçada i {r} cm de radi podem omplir?
A: {a}*{b}*{c}/(3.141592654*{r}*{r}*{h}) (formula; values not in the backup's text)

Q: Una galleda té forma cilíndrica de radi 12 cm i té una capacitat de {v} litres. Quina és l'alçada de la galleda?
A: 1000*{v}/(3.141592654*{r}*{r}) (formula; values not in the backup's text)

Q: Una llauna cilíndrica fa {h} cm d'alçada i {=2*{r}} cm d'amplada. Conté una substància de densitat {d} g/cm^3. Calculeu la massa del contingut.
A: 3.141592654*{r}*{r}*{h}*{d} (formula; values not in the backup's text)

Q: Ahir va ploure {p} l/m^2. Quanta aigua es va acumular en un camp de futbol de {a}x{b} m?
A: {a}*{b}*{p} (formula; values not in the backup's text)

Q: Quant pesen {f} femelles com aquesta si la densitat del ferro és {d} g/cm^3?

{a} mm |
[Image] | {h} mm
{b} mm          {=1.732*{b}} mm |
A: {f}*(2.598*{b}*{b}-0.785398*{a}*{a})*{h}/1000*{d} (formula; values not in the backup's text)

Q: Un dipòsit de gasoli té una capacitat de {=100*{k}} litres. Té forma de paral·lelepípede recte de {a} m de llargada i {b} m d'amplada. Quant fa d'alçada?
A: {k}/(10*{a}*{b}) (formula; values not in the backup's text)

Q: Volem construir un dipòsit cilíndric de {v} litres. L'alçada ha de fer {h} cm, quant ha de fer de radi? [Alerta amb les unitats ( litres | cm ) ]
A: sqrt(1000*{v}/(3.141592654*{h})) (formula; values not in the backup's text)

Q: Diuen que un dipòsit fa {a}x{b}x{c} metres però s'han equivocat en medir-lo: realment fa {={a}+{ia}}x{={b}+{ib}}x{={c}+{ic}} metres. Calculeu quants litres de més hi ha respecte les mides inicials. [Poseu tots els decimals que surtin].
A: 1000*(({a}+{ia})*({b}+{ib})*({c}+{ic}) -{a}*{b}*{c}) (formula; values not in the backup's text)

Q: La piscina del Ramon fa {a} metres d'amplada i {b} de llargada. Té una capacitat de {v} hectolitres. Quant fa de fondària?
A: {v}/(10*{a}*{b}) (formula; values not in the backup's text)

Q: Una llauna ortoèdrica fa {a} cm d'amplada, {b} cm de llargada i {h} cm d'alçada. El fabricant vol dissenyar una altra que faci un centímetre més d'amplada i de llargada i que pugui contenir el doble de producte. Quant haurà de fer d'alçada?
A: 2*{a}*{b}*{h}/(({a}+1)*({b}+1)) (formula; values not in the backup's text)

Q: [Image]

Calculeu el volum de la capsa.
a={a}
b={b}
A: ({a}-2*{b})*({a}-2*{b})*{b} (formula; values not in the backup's text)

Q: [Image]

Un dipòsit A de llargada a={a} i amplada b={b} cm i  cm està ple fins a una alçada c={=round(({f}*({a}*{b}+{d}*{e}*({k}-1)))/({a}*{b})-0.01,2)} cm. Hi introduïm un dipòsit B que està buit i fa dxexf ={d}x{e}x{f} cm. Un cop enfonsat fins tocar la base del dipòsit A, una certa quantitat d'aigua vessa a dintre del dipòsit B. Quants centímetres pujarà el nivell de l'aigua que s'introduirà dintre del dipòsit B?
A: {k}*{f} (formula; values not in the backup's text)

Q: El volum d'un cub és {v} cm^3. Quant fa cada costat?
A: pow({v},1/3) (formula; values not in the backup's text)

Q: Un cub de 1 m de costat el trossegem en petits cubs de 1mm de costat. Amb els cubets formem una columna. Quant fa d'alçada?
A: 1000

Q: Les botelles de la figura tenen la base plana i circular i la part de baix es cilíndrica. Quan estan completament plenes contenen 1 litre d’aigua. Si ens en bevem un quart de litre, el nivell de l’aigua queda dins la zona cilíndrica, i està a {=3*{x}} cm de la base. Si ens en bevem un quart de litre més, i girem la botella cap per avall, el nivell de l’aigua es troba a {=3*{x}} cm del tap. Quina és l’altura de la botella?

[Image]
A: 5*{x} (formula; values not in the backup's text)

Q: S'ha construït un túnel de {x} km de llargada de secció rectangular coronat per un semicercle. Fa {=2*{r}} m d'ample i {={b}+{r}} m d'alt. La densitat de la roca extreta és {d} g/cm^3.

Per emportar-se la roca extreta es van fer servir camions que podien carregar una massa màxima de {m} Tones.

Quants viatges van haver de fer els camions?
A: round(((2*{r}*{b}+1.570796327*{r}*{r})*1000*{x}*{d})/{m}+0.5,0) (formula; values not in the backup's text)

Q: Volum de ...
- cossos amb dues bases iguals com el cilindre i el prisma [Image] [Image] [Image] [Image] | Volum = Abase · altura
- cossos amb una sola base i acabats en vèrtexs superior com els cons i piràmides. [Image] [Image] [Image] [Image] | Volum = 1/3 · Abase · altura
Also offered: Volum = ...
If right: La resposta és correcta.
If partly right: La resposta és parcialment correcta.
If wrong: La resposta és incorrecta.

Q: Calculeu el volum d'aquest dau que fa {c} mm de costat.

[Image]
A: {c}*{c}*{c} (formula; values not in the backup's text)

Q: Calculeu el volum si a={a}, b={b}, h={h}

[Image]
A: {a}*{b}*{h} (formula; values not in the backup's text)

Q: Calculeu el volum d'aquesta piràmide rectangular.

[Image]

a = {a} m
b = {b} m
h = {=3*{h}} m
A: {a}*{b}*{h} (formula; values not in the backup's text)

Q: Calculeu el volum.

{h} cm | [Image] | {s} cm^2
A: {s}*{h} (formula; values not in the backup's text)

Q: Calculeu el volum

[Image]

a = {a} cm
b = {b} cm
h = {c} cm
A: {a}*{b}*{c} (formula; values not in the backup's text)

Q: Calculeu el volum sabent que d = {d} m i  a = {a} m

[Image: con]
A: {d}*{d}*3.141592654*{a}/12 (formula; values not in the backup's text)

Q: Calculeu el volum amb a={a} cm i b={b} cm

[Image: con]
A: {b}*{b}*3.141592654*sqrt({a}*{a}-{b}*{b})/3 (formula; values not in the backup's text)

Q: Calculeu el volum d'una esfera de {r} cm de radi
A: 4/3*3.141592654*{r}*{r}*{r} (formula; values not in the backup's text)

Q: Dissenyem un pot cilíndric

Una empresa es dedica a produir tomàquet triturat i distribuir-lo en pots metàl·lics de dimensions {=round({v}/(3.14159265*{r}*{r}),3)} cm d'alçada i {r} cm de radi.

El propietari ens ha demanat ajuda per modificar la forma del pot per augmentar el benefici de l'empresa.

[Realitzeu tots els càlculs en un full a part o en un document compartit]

PREGUNTA 1

Calculeu el volum del pot.

PREGUNTA 2

Dibuixeu el desplegament de les cares i calculeu-ne l'àrea.

PREGUNTA 3

Canvieu la mida del radi i calculeu l'alçada perquè el volum continuï sent el mateix.

Calculeu l'àrea del desplegament de les cares.

PREGUNTA 4

Realitzeu cinc canvis més com els de l'apartat anterior. Trieu lliurement la mida del radi i calculeu en cada cas l'alçada corresponent i el desplegament de les cares.

Oberveu que, tot i el volum ser el mateix, l'àrea del desplegament canvia.

PREGUNTA 5

Quant val el material metàl·lic necessari per construir cada pot si costa {pm} €/cm^2?

PREGUNTA 6

L'empresa produeix {={litres}*1000} litres de tomaca triturada al dia. Quants pots omplirà?

PREGUNTA 7

El cost de producció del suc és de 0,18 €/litre.

Calculeu la despesa en la producció diària tenint en compte el cost de producció i el cost del metall dels pots (ho haureu de fer per als set models de cilindre).

PREGUNTA 8

Si l'empresa ven cada pot a {p} €, calculeu els ingressos i el benefici de cada dia.

PREGUNTA 9

Ompliu la següent plantilla en format de full de càlcul amb les dades dels vostres pots (a les caselles verdes heu d'introduir números i a les vermelles fórmules)

PREGUNTA 10

Ompliu el full de càlcul introduint en la primera columna (que indica el radi del pot) tots els nombres des de 1cm fins a 25 cm de 0,1 en 0,1.

És a dir:  1,0   1,1   1,2   1,3   1,4   1,5   1,6   1,7   ............   24,9   25,0

Feu un gràfic amb la mida del radi a l'eix horitzontal i el benefici de l'empresa a l'eix vertical.

PREGUNTA 11

Quin és el disseny de pot que dóna més benefici a l'empresa?

PREGUNTA 12

[La feina s'ha d'enviar per escrit en un document però si voleu comprovar la solució, podeu escriure el radi a la casella de resposta.]

L'espai per trametre el document compartit el trobareu segurament a la següent pregunta (o seguiu indicacions del professor). Nota per al professor: convé afegir a la següent posició una pregunta Plantilla exercici obert de la categoria MAT-Instruccions.
A: pow({v}/6.283185307,0.333333) (formula; values not in the backup's text)

Q: Dissenyem un tetrabrick

Una empresa es dedica a produir suc i empaquetar-lo en tetrabricks de dimensions {a} x {=round({k}*{a},2)} x {=round({v}/({k}*{a}*{a}),2)} cm

El propietari ens ha demanat ajuda per modificar la mida del tetrabrick per augmentar el benefici de l'empresa.  [VÍDEO AJUDA]

[Realitzeu tots els càlculs en un full a part o en un document compartit]

PREGUNTA 1 [VÍDEO AJUDA]

Calculeu el volum

PREGUNTA 2 [VÍDEO AJUDA]

Dibuixeu el desplegament de les cares i calculeu-ne l'àrea.

PREGUNTA 3 [VÍDEO AJUDA]

Canvieu les dues primeres mides tot mantenint que la segona sigui {k} cops la primera i calculeu l'alçada perquè el volum continuï sent el mateix.

Calculeu l'àrea del desplegament de les cares.

PREGUNTA 4 [VÍDEO AJUDA]

Realitzeu cinc canvis més com els de l'apartat anterior. Calculeu en cada cas l'alçada corresponent i el desplegament de les cares.

Oberveu que, tot i el volum ser el mateix, l'àrea del desplegament canvia.

PREGUNTA 5 [VÍDEO AJUDA]

Quant val el cartró necessari per construir cada tetrabric si costa 0,0003 €/cm^2?

PREGUNTA 6 [VÍDEO AJUDA]

L'empresa produeix {={litres}*1000} litres de sucs al dia. Quants tetrabricks omplirà?

PREGUNTA 7 [VÍDEO AJUDA]

El cost de producció del suc és de 0,20 €/litre.

Calculeu la despesa en la producció diària tenint en compte el cost de producció i el cost del cartró dels tetrabricks (ho haureu de fer per als set models de tetrabricks)

PREGUNTA 8 [VÍDEO AJUDA]

Si l'empresa ven cada tetrabrick a {p} €, calculeu els ingressos i el benefici de cada dia.

PREGUNTA 9 [VÍDEO AJUDA]

Ompliu la següent plantilla en format de full de càlcul amb les dades dels vostres tetrabricks (a les caselles verdes heu d'introduir números i a les vermelles fórmules)

PREGUNTA 10 [VÍDEO AJUDA]

Ompliu el full de càlcul introduint en la primera columna (que indica l'amplada del tetrabric) tots els nombres des de 1cm fins a 25 cm de 0,2 en 0,2.

És a dir:  1,0   1,2   1,4   1,6   1,8   2,0   2,2   2,4   ............   24,8   25,0

Feu un gràfic amb l'amplada a l'eix horitzontal i el benefici de l'empresa a l'eix vertical.

PREGUNTA 11 [VÍDEO AJUDA]

Quin és el disseny de tetrabrick que dóna més benefici a l'empresa?

PREGUNTA 12 [VÍDEO AJUDA]

[La feina s'ha d'enviar per escrit en un document però si voleu comprovar la solució, podeu escriure el radi a la casella de resposta.]

L'espai per trametre el document compartit el trobareu segurament a la següent pregunta (o seguiu indicacions del professor). Nota per al professor: convé afegir a la següent posició una pregunta Plantilla exercici obert de la categoria MAT-Instruccions.
A: pow((1+{k})*{v}/(2*{k}*{k}),1/3) (formula; values not in the backup's text)

Q: Tal com hem pogut comprovar, un cos amb una sola base i acabat en punxa, com ara aquests:

 [Image]    [Image]    [Image]

té volum: \( V=\frac{1}{3} \cdot A_{base} \cdot altura \)

on \( A_{base} \) indica l'àrea de la base (que pot ser un rectangle, un cercle, un polígon, una figura irregular, ...)

Calculeu el volum d'aquesta piràmide de base quadrada que té una alçada de {a} cm i una base de costat {c} cm.

Recordeu que l'àrea d'un quadrat és \( c^2 \) , o també \( c \cdot c \)

[Image]
A: {c}*{c}*{a}/3 (formula; values not in the backup's text)

Q: [https://youtu.be/E3IY7xH2SSY]
- \( V_{cilindre}= \frac{1}{3} V_{con} \)
- \( V_{con}= \frac{1}{3} V_{cilindre} \)
- \( V_{con} = 3 \cdot V_{cilindre} \)
- \( V_{con} = V_{cilindre} \)
A: \( V_{con}= \frac{1}{3} V_{cilindre} \)
If right: La teva resposta és correcta.
If partly right: La teva resposta és parcialment correcta.
If wrong: La teva resposta és incorrecta.

Q: Tal com hem pogut deduir, un cos amb les dues bases iguals com ara aquests:

 [Image]   [Image]    [Image]    [Image]

té volum: \( V=A_{base} \cdot altura \)

on \( A_{base} \) indica l'àrea de la base (que pot ser un rectangle, un cercle, un polígon, una figura irregular, ...)

Calculeu el volum d'aquest cilindre que té una alçada de {a} cm i una base de radi {r} cm.

Recordeu que l'àrea d'un cercle és \( \pi \cdot r^2 \)

[Image]
A: 3.141592654*{r}*{r}*{a} (formula; values not in the backup's text)

Q: [Image]
Feu servir el mètode anterior per calcular el volum d'aquesta llonganissa de {llarg} cm de llargada.
La secció o base ara no és un cercle ni cap figura perfecta.

[Image]

L'àrea no la podem calcular amb fórmula, l'haurem de comptar amb quadradets de 1 cm^2 assenyalats a la foto.

Quin volum té la llonganissa? És a dir, quants cubets [Image] de 1 cm^3 té?
A: 19.5*{llarg} (formula; values not in the backup's text)

Q: [Image: Galetes]
Observeu el següent cilindre de galetes.
Com podem calcular el seu volum?

Sí que podem calcular el volum d'una galeta. Com que l'alçada de la galeta és 1 cm, cada centímetre quadrat d'àrea té associat 1 centímetre cúbic de volum.

[Image]

Quants cm^2 fa d'àrea si els comptem ... sembla que n'hi hagi uns 35 més o menys.

Exactament: recordem que l'àrea d'un cercle és \( \pi \cdot r^2 \) . Si observem el cercle el radi sembla que faci uns 3 i no arriba a mig centímetre, diguem 3,3 cm

\( A_{galeta}= \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 3,3^2 = 34,21 cm^2 \)

O sigui que cada galeta té 34,2120 cubets de 1 cm^3. [Image]

Tota la columan de 21 galetes, tot el cilindre farà 21·34,21 = 718,4525 cm^3.

Ara vull que vosaltres calculeu quant faria un cilindre de {g} galetes de gruix 1 cm i de radi {r} cm.
A: 3.141592654*{r}*{r}*{g} (formula; values not in the backup's text)

Q: Fixeu-vos amb la següent animació Geogebra. Llisqueu el punt vermell per reproduir-la.

Canvieu els valors de m.n,l i moveu el lliscador vermell. Cada cub vermell indica una unitat de volum. Fixeu-vos amb el volum total de l'ortoedre (nombre cubets vermells que ocupa)

Quin serà el volum si l'amplada n={n}, la llargada m={m} i l'alçada l={l}
A: {m}*{n}*{l} (formula; values not in the backup's text)