Title: MAT. Problemes d'optimització
Course: Matemàtiques de 3r d'ESO

Q: Entre tots els cons inscrits en una esfera de radi {a}, quin és de najor volum?
Anoteu aquí el radi.
A: sqrt(8*{a}*{a})/3 (formula; values not in the backup's text)

Q: La intensitat que circula per un circuït de resistència R és, segons la llei d'Ohm, $$I=E/(r+R)$$ essent E la força electromotriu, r la resistència interior i R l'exterior. La potència absorbida pel circuït és $$w=R\cdot I^2$$. Suposem E={E} volts i r={r} ohms, quant ha de valdre la resistència exterior R perquè la potència siga màxima?
A: {r} (formula; values not in the backup's text)

Q: Un con recte fa {H} metres d'alçada i {R} metres de radi de la base. Calculeu l'alçada del cilindre de volum màxim que es pot inscriure en aquest con.
A: {H}/3 (formula; values not in the backup's text)

Q: Es vol obtenir una biga en forma de prisma recte de base rectangular a partir d'un tronc de fusta cilíndric i de manera que la fusta malgastada siga mínima. Calculeu les dimensions de la secció de la biga en funció de les dimensions del cilindre (radi {a} i alçada {b} cm). Anoteu aquí l'amplada de la biga.
A: sqrt(2)*{a} (formula; values not in the backup's text)

Q: Dos passadissos d'amplària {a} i {b} cm formen un angle recte. Si portem una barra horitzontalment, quina ha de ser la longitud màxima d'aquesta barra perquè pugui passar pel racó dels dos passadissos?
A: (pow({a}*{a}*{b},1/3)+{b})*pow(1+{a}*{a}/pow({a}*{a}*{b},2/3),1/2) (formula; values not in the backup's text)

Q: La base menor d'un trapezi rectangle fa {a} i el costat oblic {b}. Troba l'angle que cal que forme el costat oblic amb la base perquè l'àrea del trapezi siga màxima.
A: acos((sqrt({a}*{a}+2*{b}*{b})-{a})/(2*{b})) (formula; values not in the backup's text)

Q: Des de quin punt de la banda d'un camp de futbol es veu la porteria amb un angle més gran? (Suggeriment: si $$\alpha$$ ha de ser màxim, també ho serà $$\tan\alpha$$)
Dades: {a}m amplada porteria, {b}m distància del pal al còrner.
Indiqueu la distància del punt de la banda que busquem medit des del còrner.
A: sqrt({a}*{b}+{b}*{b}) (formula; values not in the backup's text)

Q: Trobeu un número tal que en restar-li el seu quadrat la diferència siga màxima.
A: 0.5

Q: Un cordill de longitud {a} m el partim en dos trossos, amb un fem un quadrat i amb l'altre un cercle. Com podem aconseguir que la suma de les dues àrees sigui mínima. Anoteu aquí el valor d'aquesta àrea mínima [les unitats metres quadrats, indiqueu-les així: m^2]
A: 3.141592654*{a}*{a}/(16*3.141592654+1) (formula; values not in the backup's text)

Q: Suposem dues carreteres Manresa-Bagà i Solsona-Manlleu perfectament rectes i orientades en direcció SN i OE respectivament i que es creuen a Gironella. Dos cotxes circulen, un per cada carretera, simultàniament, amb velocitat {w} i {v} km/h i es dirigeixen cap a Gironella. Les posicions inicials són {a} km al Sud de Gironella i {b} km a l'Oest de Gironella respectivament. Calculeu la distància mínima entre els cotxes.
A: sqrt(({a}*{v}*{w}-{b}*{w}*{w})/({v}*{v}+{w}*{w})+({b}*{v}*{w}-{a}*{v}*{v})/({v}*{v}+{w}*{w})) (formula; values not in the backup's text)

Q: D'un cercle de radi R cal retallar un sector per a plegar-lo i fer-ne un embut cònic. Calculeu l'angle $$\alpha$$ del sector perquè la capacitat de l'embut siga màxima.
A: 293.94 (± 0.5)

Q: Dos cons de revolució comparteixen per base el mateix cercle de radi {R}, i un està dins l'altre de forma que l'altura del con exterior és {n} cops més gran que la del con interior. Si tallem amb plans paral·lels a la base obtenim diverses corones circulars. Trobeu la corona circular d'àrea màxima. Indiqueu el valor d'aquesta àrea.
A: 3.141592654*{R}*{R}*({n}-1)/({n}+1) (formula; values not in the backup's text)

Q: Per tal d'il·luminar una taula circular de {R} metres de radi, volem penjar del sostre de l'habitació un llum situat en la vertical del centre de la taula i que enfoque cap avall. Digueu a quina alçada hem de situar aquest llum respecte a la taula per tal que els punts de la seva vora tinguen una il·luminació màxima. Si designem per L el llum (que se suposa puntual) i per P un punt qualsevol de la taula, la il·luminació I del punt P ve donada per I=k·cosa/d^2 , on k és una constant positiva que depén de les característiques del llum, d és la distància entre P i L, i a és l'angle entre PL i la vertical.
A: 0.70711*{R} (formula; values not in the backup's text)

Q: De tots els triangles isòscel·les inscrits en una circumferència de radi {a}, quin és el d'àrea màxima? Anoteu aquí l'alçada.
A: (3*{a}+sqrt({a}*{a}+288))/4 (formula; values not in the backup's text)

Q: En un triangle isòsceles de {b}cm de base i {a}cm d'altura s'inscriu un rectangle, de forma que un dels seus costats està sobre la base del triangle i dos dels seus vèrtexs sobre cadascun dels costats iguals. Quina és l'altura del rectangle d'àrea màxima?
A: {a}/2 (formula; values not in the backup's text)

Q: Cal construir un dipòsit cilíndric, sense tapa, de {a} m^3 de capacitat, de cost mínim. El fons del dipòsit costa {b} €/m^2. Les parets costen a {c} €/m^2. Calculeu el cost del dipòsit.
A: 2*{a}*{c}+3.14159265*{b}*pow({a}*{c}/(3.141592654*{b}),2/3) (formula; values not in the backup's text)

Q: Volem construir un marc per a una finestra de {c} m^2 d'àrea. El cost del marc es calcula en {a}€ per cada metre d'alçada de la finestra i {b}€ per cada metre d'amplada. Quin és el preu del marc més econòmic?
A: (2*{a}*{b}*{c}+2*{a}*{b})/sqrt({a}*{b}*{c}) (formula; values not in the backup's text)

Q: Un prisma recte de base quadrada i sense la base superior ha de tenir una capacitat de {a} litres. Determineu-ne les dimensions de manera que siga mínima la quantitat de pintura necessària per pintar-ne l'exterior. Anoteu aquí el valor de l'altura
A: {a}/pow(2*{a},1/3) (formula; values not in the backup's text)

Q: Les pàgines d'un llibre han de tenir cada una {a} cm^2 d'àrea, amb marges: inferior {i} cm, superior {s} cm, esquerre {e} cm i dret {d} cm. Trobeu l'amplada de la pàgina que permet la major àrea impressa possible.
A: sqrt(({e}+{d})*{a}/({i}+{s})) (formula; values not in the backup's text)

Q: La demanda d'un cert producte depén del seu preu segons la fórmula d={a}·p-p^2, on d és la quantitat de productes i p és el preu en euros d'una unitat de producte. Quin preu fa que els ingressos siguin màxims?
A: 2*{a}/3 (formula; values not in the backup's text)

Q: Amb un cartró rectangular de dimensions {a} i {b} cm es vol construir una capsa sense tapa, retallant un quadradet a cada cantonada. Calculeu quines dimensions ha de tenir la capsa perquè el seu volum sigui màxim. [Anota com a resposta la major de les tres dimensions].
A: max(({a}+{b}-sqrt({a}*{a}-{a}*{b}+{b}*{b}))/6,{a}-({a}+{b}-sqrt({a}*{a}-{a}*{b}+{b}*{b}))/3,{b}-({a}+{b}-sqrt({a}*{a}-{a}*{b}+{b}*{b}))/3) (formula; values not in the backup's text)

Q: Un mirall pla que tenia forma de rectangle de {a} cm de base i {b} cm d'alçada, s'ha trencat per una cantonada seguint una recta. El tros petit que se n'ha després té forma de triangle rectangle els catets del qual mesuren {c} cm i {d} cm en direcció de la base i l'alçada respectivament. Trobeu les dimensions del mirall rectangular d'àrea màxima que es pot retallar del tros gros del mirall trencat, de manera que les vores d'aquest mirall nou siguin paral·leles a les del mirall inicial. Anoteu aquí l'àrea d'aquest nou mirall.
A: pow({a}*{d}+{b}*{c}-{c}*{d},2)/(4*{c}*{d}) (formula; values not in the backup's text)

Q: A un preu de p euros es venen q={=1000*{a}}-{b}p unitats d'un determinat producte. Per altra banda, el cost de producció de q unitats és C(q)={=1000*{c}}+{d}q+{e}q^2 euros. Calculeu el nombre d'unitats que cal produïr per maximitzar els beneficis.
A: (1000*{a}-{d}*{b})/(2+2*{e}*{b}) (formula; values not in the backup's text)

Q: A l'aigua i en disolucions, el producte de la concentració, en mols/litre, d'ions [H+] i d'ions [OH-] és pròxim a 10^-4. Determineu el mínim de [H+]+[OH-].
A: 0.02

Q: Un agricultor ha recollit {q} quilograms de fruita que es deterioren a raó de {d} kg/dia. El preu actual és de {p} €/kg però augmenta {a} €/kg cada dia. Quants dies ha d'esperar abans de vendre-la per obtenir els màxims ingressos?
A: {q}/(2*{d})-{p}/(2*{a}) (formula; values not in the backup's text)

Q: Trobeu els punts de la corba y^2={c}x tal que la distància al punt ({a},0) siga mínima. Indiqueu aquí el valor d'aquesta distància mínima.
A: sqrt({a}*{c}-{c}*{c}/4) (formula; values not in the backup's text)