La successió de Collatz

Icona iDevice Activitat 1 : Jugar i observar
El fenomen que ara veureu té intrigats als matemàtics i no saben explicar perquè passa. Consisteix en el següent joc:

 

Penseu un nombre enter, per exemple l'onze. Aquest primer nombre li direm també "llavor".

  • Si és parell, el dividiu per 2 i si és imparell el multipliques per 3 i li sumeu 1.
  • Repetiu el càlcul anterior amb el número que surti i ho torneu a repetir amb el següent i amb el següent, fins que... fins que observeu alguna cosa.


Comencem:

  • a1=11 és imparell, llavors 11 ==> 11*3+1 = 34
  • a2=34 és parell, llavors 34 ==> 34/2 = 17
  • a3=17 és imparell, llavors 17 ==> 17*3+1 = 52
  • a4=52 és parell, llavors 52 ==> 52/2 =26
  • etc...
Escriviu diferents successions de Collatz començant amb números diferents. Continueu les successions fins que passi "alguna cosa". Com acaben aquestes successions? Totes acabaran de la mateixa manera? Segur?
Apunteu les vostres observacions a la llibreta.

Icona iDevice Activitat 2: Explorar òrbites i pics

Els càlculs de l'activitat 1 se us van fer una mica pesats? Ara els farem amb ordinador!

a) Construcció de la successió de Collatz amb un full de càlcul

Obriu el full de càlcul i reserveu una cel·la pel número “llavor”. Escriviu-hi un número com a “llavor” i a la cel·la de sota hi escriviu la fórmula següent:

=SI(RESIDU(An-1;2)=0; An-1/2; 3*An-1+1)

On escrivim A
n-1 heu de fer referència a la cel·la del damunt.

Pot ser amb Excel haureu d'escriure RESTO en lloc de RESIDU

Esteneu la fórmula cap avall fins que la successió arribi al seu final. En qualsevol cas cal que obtingueu 100 o 200 cel·les.

Creeu un gràfic lineal amb aquesta columna de nombres.

Obtindreu un resultat semblant al següent:

Gràfic successió de Collatz

Expliqueu el que passa: Com acaba sempre la successió encara que canvieu la llavor?

El que acabeu de descobrir sembla que passa amb tots els nombres enters, perquè ningú ha trobat mai una successió de Collatz que no acabi així. Però no sabem perquè, ni si mai en podrem trobar una que no acabi així. Molts matemàtics intenten demostrar-ho sense èxit (almenys fins avui). Per això aquest fet s'anomena "Conjectura de Collatz".

 

b) Órbita d'un nombre

El conjunt dels nombres de la successió de Collatz s'anomena òrbita del nombre llavor. Per veure l'òrbita d'un nombre l'heu d'escriure com a llavor i estirar la fórmula fins que aparegui el final de la successió.
Per exemple, l'onze té una òrbita de 15 nombres que són: 11,34,17,52,....,4,2,1. Comproveu-ho.


c) Pic de l'òrbita d'un nombre

Anomenarem pic absolut d'una òrbita al nombre més gran que contingui aquesta òrbita. Es pot veure bé a la gràfica perquè és el punt més alt.

L'onze té un pic de 52, que és el nombre més alt de la seva gràfica. Comproveu-ho.

Exploreu el full de càlcul amb diferents nombres llavor i escriviu a la vostra llibreta nombres que donin òrbites molt llargues o bé pics molt alts. Anoteu-los en dues noves columnes del full de càlcul. Deseu el full i envieu-lo al vostre professor/a.


Icona iDevice Activitat 3: Què ve darrera de cada número?
Quan un número augmenti (perquè l'hem multiplicat per 3 i sumat 1) direm que ha donat un pas ascendent (una pujada) i quan disminueixi (per haver-lo dividit entre 2) direm que ha sigut un pas descendent (una baixada).

 

Preguntes per reflexionar:

a) Darrera de cada nombre només s'ascendeix un cop (o cap) i després se baixa. Podeu veure-ho a la gràfica,, mai hi ha dos trams de pujada seguits. Perquè passa això?

b) Hi ha nombres, com el 48, que produeixen molts trams de baixada seguits: 48, 24, 12, 6, 3... i llavors comencen a pujar. Com podem saber d'avançada quantes vegades baixarà un nombre?

c) alguns nombres, com el 15, ascendeixen, baixen i tornen a pujar: 15, 46, 23, 70... Podeu trobar una fórmula per aquests nombres?

d) Qualsevol nombre pot ser un pic? Com són els nombres “pic”?

e) Què tenen d'especial aquests nombres quan els utilitzem com a llavors?: 5, 21, 85, 341, 1365, 5461,...

Escriviu un informe amb les respostes raonades i envieu-lo al vostre professor/a.


 

Font de l'activitat i orientacions per al professorat: entrada del bloc "Números i Hoja de càlculo" 

Autor:  Antonio Roldán Martínez

 

 

Anterior | Següent

Llicenciat sota la Creative Commons Attribution Non-commercial Share Alike 3.0 License

Progressions aritmètiques i geomètriques