La successió de Collatz

Penseu un nombre enter, per exemple l'onze. Aquest primer nombre li direm també "llavor".
-
Si és parell, el dividiu per 2 i si és imparell el multipliques per 3 i li sumeu 1.
-
Repetiu el càlcul anterior amb el número que surti i ho torneu a repetir amb el següent i amb el següent, fins que... fins que observeu alguna cosa.
Comencem:
- a1=11 és imparell, llavors 11 ==> 11*3+1 = 34
- a2=34 és parell, llavors 34 ==> 34/2 = 17
- a3=17 és imparell, llavors 17 ==> 17*3+1 = 52
- a4=52 és parell, llavors 52 ==> 52/2 =26
- etc...

Els càlculs de l'activitat 1 se us van fer una mica pesats? Ara els farem amb ordinador!
a) Construcció de la successió de Collatz amb un full de càlcul
Obriu el full de càlcul i reserveu una cel·la pel número “llavor”. Escriviu-hi un número com a “llavor” i a la cel·la de sota hi escriviu la fórmula següent:
=SI(RESIDU(An-1;2)=0;
An-1/2;
3*An-1+1)
On
escrivim An-1 heu
de fer referència a la cel·la del damunt.
Pot ser amb Excel haureu d'escriure RESTO en lloc de RESIDU
Esteneu la fórmula cap avall fins que la successió arribi al seu final. En qualsevol cas cal que obtingueu 100 o 200 cel·les.
Creeu un gràfic lineal amb aquesta columna de nombres.
Obtindreu un resultat semblant al següent:

Expliqueu el que passa: Com acaba
sempre la successió encara que canvieu la llavor?
El que acabeu de
descobrir sembla que passa amb tots els nombres enters, perquè ningú
ha trobat mai una successió de Collatz que no acabi així. Però no
sabem perquè, ni si mai en podrem trobar una que no acabi així.
Molts matemàtics intenten demostrar-ho sense èxit (almenys fins
avui). Per això aquest fet s'anomena "Conjectura de Collatz".
b) Órbita d'un nombre
El conjunt dels nombres de la successió de Collatz s'anomena òrbita del nombre llavor. Per veure l'òrbita d'un nombre l'heu d'escriure com a llavor i estirar la fórmula fins que aparegui el final de la successió.Per exemple, l'onze té una òrbita de 15 nombres que són: 11,34,17,52,....,4,2,1. Comproveu-ho.
c) Pic de l'òrbita d'un nombre
Anomenarem pic absolut d'una òrbita al nombre més gran que contingui aquesta òrbita. Es pot veure bé a la gràfica perquè és el punt més alt.
L'onze té un pic de 52,
que és el nombre més alt de la seva gràfica.
Comproveu-ho.
Exploreu el full de càlcul amb diferents
nombres llavor i escriviu a la vostra llibreta nombres que donin
òrbites molt llargues o bé pics molt alts. Anoteu-los en dues noves columnes del full de càlcul. Deseu el full i envieu-lo al vostre professor/a.

Preguntes per reflexionar:
a) Darrera de cada nombre només s'ascendeix un cop (o cap) i després se baixa. Podeu veure-ho a la gràfica,, mai hi ha dos trams de pujada seguits. Perquè passa això?
b) Hi ha nombres, com el 48, que produeixen molts trams de baixada seguits: 48, 24, 12, 6, 3... i llavors comencen a pujar. Com podem saber d'avançada quantes vegades baixarà un nombre?
c) alguns nombres, com el 15, ascendeixen, baixen i tornen a pujar: 15, 46, 23, 70... Podeu trobar una fórmula per aquests nombres?
d) Qualsevol nombre pot ser un pic? Com són els nombres “pic”?
e) Què tenen d'especial aquests nombres quan els utilitzem com a llavors?: 5, 21, 85, 341, 1365, 5461,...
Escriviu un informe amb les respostes raonades i envieu-lo al vostre professor/a.
Font de l'activitat i orientacions per al professorat: entrada del bloc "Números i Hoja de càlculo"
Autor: Antonio Roldán Martínez