Title: La divisibilitat
Course: Matemàtiques 1r ESO 1r T

Múltiples i divisors

- Un nombre és múltiple d’un altre si s’obté multiplicant aquest últim per qualsevol nombre natural
- Un nombre és múltiple d’un altre si la divisió entre els dos és exacta

                     * 30 és múltiple de 2, 3, 5, .... ja que 2 · 15 = 30, 3 · 10 = 30, 5 · 6 = 30

Un múltiple d'un nombre sempre és un altre nombre més gran o igual, tret del 0

- Un nombre és divisor d’un altre si el divideix de forma exacte.
- Un nombre es divisible per un altre si la divisió entre els dos és exacta ( de residu 0)

                    * 2, 3, 5, 6 ..... són divisors de 30

                    * 30 es divisible per 2, 3, 5, 6......

Un divisor d'un nombre, sempre és un altre nombre igual o més petit

Divisors d'un nombre

- Per calcular tots els divisors d’un nombre:

1. Començarem a fer divisions, buscant que siguin exactes, pels nombres naturals a partir de l’1.
2. Anirem formant la llista de divisors amb el divisor i quocient de les divisions exactes
3. Acabem quan ens toqui dividir per un nombre que ja està a la llista

- Divisors de 36:

36 : 1 = 36 | Els primers divisors són: 1 i 36
36 : 2 = 18 | Segueixen: 2 i 18
36 : 3 = 12 | També ho són: 3 i 12
36 : 4 = 9 | Continuem amb: 4 i 9
36 : 6 = 6 | Acabem amb el 6

Per tant, els divisors de 36 són: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 i 36

Entre els divisors d'un nombre sempre hi ha el 1 i el mateix nombre

Criteris de divisibilitat

- Per saber si un nombre natural és divisible per un altre , només cal fer la divisió i comprovar que doni 0 de residu.
- Però quan els nombres són grans, s'utilitzen els criteris de divisibilitat, que són unes regles que ens permeten saber si un nombre és divisible per un altre sense fer la divisió

Divisibilitat per 2

Un nombre és divisible per 2 quan acaba en xifra parell.

Els nombres: 34,  358, 800..... són divisibles per 2.

Divisibilitat per 3

Un nombre és divisible per 3 quan la suma de les seves xifres és múltiple de 3.

El nombre 453   es divisible per 3, ja que  4 + 5 + 3 = 12 que és un múltiple de 3

Divisibilitat per 5

Un nombre és divisible per 5 quan acaba en 0 o 5.

Els nombres 85, 455, 1200, 5630.... són divisibles per 5

Divisibilitat per 9

Un nombre és divisible per 9 quan la suma de les seves xifres és múltiple de 9.

El nombre 873  és divisible per 9, ja que 8 + 7 + 3 = 18 que és múltiple de 9

Divisibilitat per 10

Un nombre és divisible per 10 quan acaba en 0.

Els nombres 230, 1670, 800 són divisibles per 10

Divisibilitat per 11

Un nombre és divisible per 11 quan la diferència entre la suma de les xifres que ocupen una posició parell i les que ocupen una posició imparell, és múltiple de 11.
El nombre 9361   és divisible per 11, ja que     (9 + 6) – (3 + 1) = 15 – 4 = 11 que és múltiple de 11

Nombres primers i compostos

- Un nombre és primer quan només té dos divisors: el 1 i ell mateix.

             El 13 és un nombre primer, ja que només es pot dividir per 1 i 13.

- Un nombre és compost quan té més de dos divisors.

             El 36 és un nombre compost, ja que es pot dividir per 1, 2, 3, 4, 6........

- El garbell o sedàs d’Erastòtenes ens permet eliminar els nombres compostos i quedar-nos amb els primers
- Tots els nombres compostos es poden expresar com un producte de factors primers
- Dos nombres són primers entre ells quan nómes tenen el 1 com a divisor comú

              El 15 i el 8 són primers entre ells, ja que entre els divisors, només el 1 coincideix

Descomposició factorial d'un nombre

- Per factoritzar un nombre
  - Dividirem de forma exacte i successivament el nombre pels nombres primers
  - Agruparem els nombres primers en potències de la mateixa base i així obtindrem el producte  de factors primers.

               360 = 2^3 · 3^2 · 5
                                                    360    2
                                                    180    2
                                                      90    2
                                                      45    3
                                                      15    3
                                                        5    5
                                                        1

Màxim comú divisor (mcd)

És el més gran dels divisors comuns

Per buscar el mcd de dos o més nombres ho podem fer per dos mètodes diferents

- Càlcul dels divisors:
  - Busquem tots els divisors dels nombres
  - Marquem els que siguin comuns.
  - Escollim com a mcd el més gran dels divisors comuns

                    Divisors de 16: 1,2,4,8,16
                    Divisors de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
                    mcd (12, 16) = 4

- Factorització
  - Descomponem els nombres en factors primers
  - Marquem els factors comuns
  - El mcd serà el producte dels factors comuns elevats a l’exponent més petit

                  16 = 2^4

                  12 = 2^2 · 3

                  mcd (12, 16) = 2^2 = 4

El mcd sempre existeix, si no hi ha factors comuns és el 1

Mínim comú múltiple (mcm)

És el més petit dels múltiples comuns

Per buscar el mcm de dos o més nombres ho podem fer per dos mètodes diferents:

- Càlcul dels múltiples:
  - Calculem els primers múltiples dels nombres
  - Marquem els que siguin comuns
  - Escollim com a mcm el més petit dels múltiples comuns

                Múltiples de 12: 12, 24, 36, 48. ..

                Múltiples de 16: 16, 32, 48, 64...

                mcm (12, 16 ) = 48

- Factorització
  - Descomponem els nombres en factors primers
  - Ens quedem amb tots els factors comuns i no comuns
  - El mcm serà el producte de tots els factors elevats a l’exponent més gran

              16 = 2^4
              12 = 2^2 · 3
               mcm (12, 16) = 2^4 · 3 = 48

El 0 no compta al buscar el mcm