Title: Teoria
Course: Matemàtiques 2n ESO 1r T

Monomis

Un monomi és el producte indicat d’un valor conegut (coeficient) i un o més valors desconeguts, representats per lletres (part literal).

- Grau d’un monomi
S’anomena grau d’un monomi el nombre de factors que formen la part literal.

- Valor numèric d’un monomi
És el valor del monomi quan les lletres prenen valors concrets.

- Monomis semblants
Es diu que dos monomis són semblants quan tenen la part literal idèntica.

Operacions amb monomis

Suma i resta de monomis

 • Dos monomis només es poden sumar o restar si són semblants. En aquest cas, se sumen o resten els coeficients i es deixa la mateixa part literal.

 • Si els monomis no són semblants, la suma o la resta queda indicada.

3x^2+4x-6x^2-3x+3x^3 =3x^3-3x^2+x

Multiplicació de monomis

 • El producte d´un o més monomis és un monomi que té com a coeficient el producte dels coeficients, i com a part literal el producte de les parts literals.

3x^2 · 4x = 12x^3

Divisió de monomis

 • Del coecient entre dos monomis se´n pot obtenir un nombre, una altre monomi o una fracció algebraica.

12x^2 / 6x = 2x

Polinomis

• La suma (o resta) indicada de dos monomis és un binomi.

• La suma (o resta) indicada de tres monomis és un trinomi.

• En general, la suma (o resta) de diversos monomis és un polinomi

Grau d’un polinomi

El grau d’un polinomi és el major dels graus dels monomis que el formen

5x^4+6x^3-2x^2+x-8         Grau 8

Operacions amb polinomis

Suma y resta de polinomis

Per a realitzar la suma o resta de dues o més polinomis, s'ha de sumar o restar els coeficients dels termes la part literal dels quals siguin iguals, és a dir, les variables i exponents (o graus) han de ser els mateixos en els termes a sumar.

- Passos:

Ordenar els polinomis del terme de major grau al de menor.
Agrupar els monomis del mateix grau.
Sumar o restar els monomis semblants.

P(x) = 3x³ + 4x − 1,      Q(x) = 2x − 4x² + 6x³.

P(x) + Q(x) = 9x³ − 4x² + 6x − 1

P(x) - Q(x) = -3x³ + 4x² + 2x − 1

Producte d’un polinomi per un nombre

És un altre polinomi, que té el mateix grau del polinomi inicial. Els coeficients són el producte dels coeficients del polinomi inicial, pel número i deixant les mateixes parts literals.

2 · (x³ − 2x² + 3x − 1) = 2x³ − 4x² + 6x − 2

Producte d’un polinomi per un monomi

Es multiplica el monomi per tots i cadascun dels monomis que formen el polinomi. Primer hem de multiplicar signes, després multiplicar els monomis corresponents i per últim realitzar la multiplicació de la part literal, on, en multiplicar variables iguals els exponents se sumaran.

2x · (x³− 2x²+ x − 1) = 2x^4− 4x^3 + 2x^2 − 2x

Producte de dos polinomis

Es multiplica cada monomi del primer polinomi per tots els elements del segon polinomi.
Se sumen els monomis del mateix grau, obtenint un altre polinomi el grau del qual és la suma dels graus dels polinomis que es multipliquen.

P(x) = x²− 1,      Q(x) = x³ − 5x² + x.

P(x) · Q(x) = x^5 − 5x^4 + 5x² − x

Productes notables

Quadrat d’una suma

És igual al quadrat del primer sumand, més el doble del primer pel segon, més el quadrat del segon.

                     (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

^                  (2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2·2x·3 + 3^2=4x^2 + 12x + 9

Quadrat d’una diferència

És igual al quadrat del primer sumand, menys el doble del primer pel segon, més el quadrat del segon.

                      (a – b)^ 2 = a^2 – 2ab + b^2

^                   (2x – 1)^ 2 = (2x)^2 – 2·2x·1 + 1^2= 4x^2 – 4x + 1

Suma per diferència

És igual a la diferència dels seus quadrats.

                      (a + b) · (a – b) = a^2 – b^2

^    ^(2x + 3) · (2x – 3) = (2x)^2 – 3^2= ^4x^2-9

^

Extracció de factor comú

Extreure factor comú d'una suma (o resta) consisteix a escriure-la com un producte.

Apliquem la propietat distributiva del producte sobre la suma o resta.

No oblideu mai els parèntesis perquè el factor comú ha de multiplicar a tots els sumands.

2x^3+6x^2+4x+2 -------- 2·(x^3+3x^2+2x+1)

2x^4+6x^3+4x^2+2x--------2x·(x^3+3x^2+2x+1)

Equacions

Una equació de primer grau és una igualtat de dues expressions algebraiques, on són presents una o mes incògnites (totes elles amb exponent 1)

Aïllem la incògnita, dividint en els dos membres per 3.

O podem dir que el 3 que està multiplicant en el primer membre passa dividint en el segon.

Elements d´una equació

• Membres d’una equació: Són les expressions que hi ha a banda i banda del signe igual.

• Termes: Són els monomis amb els quals es forma cada membre.

• Incògnites: Són les lletres que apareixen en l’equació.

• Grau d’una equació: És el major exponent amb què figura la incògnita.

• Equacions equivalents: Dues equacions són equivalents quan tenen les mateixes incògnites i les mateixes solucions

Resolució d’equacions senzilles

Per a resoldre l'equació, hem de passar els monomis que tenen la incògnita a una costat de la igualtat i els que no tenen la incògnita a l'altre costat.

Ara que ja tenim separats els monomis amb i sense la incògnita, podem sumar-los o restar-los.

Per a acabar, hem de passar el coeficient de la incògnita (que multiplica a x) al costat esquerre. Com està multiplicant, passa dividint.

Per a comprovar la solució, substituïm x per el valor que ens ha donat en l'equació, obtenint una igualtat certa, per tant la solució es correcta.

Si, per contra obtenim una igualtat falsa, significa que hem comès algun error en la resolució de l'equació.

Quan es canvia un membre d'un costat de la igualtat a l'altre costat, el seu signe també canvia, és a dir, si és + passa a –  i si multiplica passa dividint.