Title: Teoria
Course: Matemàtiques 2n ESO 1r T

Nombres decimals

Concepte

Són tots aquells valors compresos entre els nombres enters.

La part decimal representa una quantitat menor que la unitat i els seus ordres d’unitats tenen la mateixa estructura que els de la part entera: Una unitat de qualsevol ordre es divideix en deu unitats de l’ordre immediat inferior.

Exemple:

- 35,4263

Trenta-cinc unitats quatre mil dos-cents seixanta-tres deumil·lèsimes

Tipus de decimals

Decimal exactes:

La característica que els diferencia es que les seves xifres decimals NO són infinites:

 1,23;  5,035;  2,5

Decimals periòdics purs:

La característica que els diferencia es que les seves xifres decimals SI són infinites i es repeteixen periòdicament:

Decimals periòdics mixtos:

La característica que els diferencia es que les seves xifres decimals SI són infinites i com indica el seu nom, unes xifres es repetiran periòdicament i altres no:

Decimals no exactes i no periòdics:

La característica que els diferencia es que les seves xifres decimals SI són infinites però NO es repetixen periòdicament:

1,2356448323...

Aproximacions

A vegades podem tenir nombres decimals amb més decimals dels que són necessaris pel context en que treballem. Per exemple, si estem parlant de preus no té gaire sentit treballar amb més de dos decimals donat que els euros poden tenir fins a cèntims.

Per aproximar un decimal a un nombre concret de xifres decimals ho podem fer de dues formes:

Truncament: en aquest cas simplement eliminem les xifres decimals que no interessen. Així, aproximem el nombre 4'736 a dos decimals amb 4'73; o, 7'832 amb 7'83.

Arrodoniment: ara ens fixem en el primer decimal eliminat, si és major o igual a 5 augmentem en un el decimal anterior, i si és menor no el modifiquem. Així, 4'736 ara s'aproxima per 4'74, i 7'832 per 7'83.

Si el valor aproximat és major que el nombre inicial diem que l'aproximació és per excés. Si el valor aproximat és menor diem que és per defecte. Llavors, 4'736 →4'74 és per excés i 7'832 per 7'83 és per defecte.

Operacions amb nombres decimals

- Sumar i restar:
Per sumar o restar nombres decimals, ho farem col·locant cada cada unitat amb el seu corresponent, de tal manera que coincideixin exactament.

- Multiplicar:

Ho farem com sempre, com ho fèiem amb els nombres enters, però al final desplaçarem la coma cap a l'esquerra tantes xifres decimals tinguem en els dos factors que multiplicarem.

- Dividir:

1. Divisions amb el divisor enter

Dividirem igual que ho hem fet fins ara, però en arribar a la coma del dividend el que farem serà posar una coma en el quocient i continuar amb la nostra divisió.

      2. Divisions amb el divisor decimal

Per a poder dividir hem d'eliminar aquesta coma del divisor, així que multiplicarem dividend i divisor per la unitat seguida de tants zeros com decimals hagin en el divisor.

El sistema sexagesimal

Mesura del temps i de l’amplitud angular

Veritat que nosaltres comptem de deu en deu?!

Doncs no tots ho fan de la mateixa manera, hi ha cultures que compten de 60 en 60, és l'anomenat sistema sexagesimal.

Nosaltres ho utilitzem també quan mesurem el temps o l'amplitud dels angles.

  Expressions complexes i incomplexes

La mesura de les quantitats relatives a una magnitud es poden expressar utilitzant simultàniament
- diverses unitats  (forma complexa)                 2 h 35 min
- una unitat única (forma incomplexa).              155 min

Operacions en el sistema sexagesimal

Suma

Sumarem cada unitat amb el seu corresponent i després ajustarem, recordant que:

 60 s = 1 min

 60 min = 1 h

Resta

Per a poder restar una quantitat a una altra hem d'assegurar-nos que la primera és major a la segona, en cas de no ser-ho, hem d'ajustar-la i després restarem normal.

Producte

Per a multiplicar farem el mateix que en la suma, primer multiplicarem com sempre i després ajustarem el resultat

Quocient

Per a dividir haurem de passar els residus a la unitat següent (multiplicant per 60) i sumar-los amb les quals ja hi hagi (si hi ha)

Els nombres racionals

Són nombres racionals tots aquells nombres que es poden escriure en forma de fracció d'un enter per un altre enter no nul.

Una fracció es representa per dos nombres enters que s'anomenen numerador i denominador:

Una fracció pot representar una part d'un conjunt o d'una unitat. Per exemple, en la fracció a/b el terme b (denominador) expressa en quantes parts iguals s'ha dividit la unitat i el terme a (numerador) expressa quantes de les parts ens interessa destacar.

Dues fraccions a/b i c/d són equivalents (tenen igual valor) si a·d=b·c. Exemple: 15/10 i 9/6 són equivalents ja que 15·6=10·9.

Simplificar una fracció és convertir-la en una altra d'equivalent, més senzilla. Per simplificar es divideix el numerador i el denominador pel mateix nombre. Exemple: Una fracció simplificada de 6/4 és 3/2.

REDUIR FRACCIONS A COMÚ DENOMINADOR

Consisteix en trobar fraccions equivalents a les inicials però totes amb el mateix denominador.

- El denominador comú serà el m.c.m dels denominadors inicials

- Per trobar els numeradors es divideix el m.c.m pel denominador i es multiplica pel numerador.

Exemple:

Volem reduir a comú denominador i

  1. Calculem el m.c.m(12,8)

                  12=3·2²·1
                  8=2³·1
                  Recordem factors comuns i no comuns elevats a l'exponent més gran, per tant el       m.c.m(12,8)=3·2³=3·8=24.

                  El denominador comú és 24

               2. Ara calculem els numeradors:

                   dividim 24:12=2---->multipliquem pel numerador---->2·7=14---->

                   dividim 24:8=3---->multipliquem pel numerador---->3·3=9---->

                Ja tenim les dues fraccions equivalents a les primeres però amb denominador comú  i

FRACCIÓ IRREDUCTIBLE

Una fracció és irreductible si el numerador i denominador són primers entre ells, és a dir si no tenen divisors comuns llevat de l'1.

En fer operacions amb fraccions és molt habitual que es demani el resultat en forma de fracció  irreductible, en aquest cas haurem de reduir o simplificar la fracció resultant.

La fracció irreductible és la fracció que no es pot simplificar més.

Reduir i simplificar una fracció consisteix en trobar una fracció equivalent a la inicial dividint el numerador i denominador per un divisor comú a tots dos, això es pot  fer diversos cops fins arribar a la fracció irreductible. Si dividim el numerador i denominador pel m.c.d de tots dos arribem en un sol pas a la fracció irreductible.

REPRESENTACIÓ A LA RECTA NUMÈRICA

- Fraccions pròpies: dividim la unitat en tantes parts com digui el denominador i, a partir del 0, agafem les parts que ens diu el numerador.

- Fraccions impròpies: primer passem a nombre mixt, i després representem la fracció pròpia resultant a partir de la unitat que indiqui el nombre enter.

Per ordenar dues fraccions:

- Es redueixen a mínim comú múltiple (mcm)
- La fracció amb el numerador més gran és la fracció més gran de les dues

Operacions amb fraccions

- Suma i resta

Amb el mateix denominador

Per sumar o restar fraccions, la suma (o resta) de les fraccions és una fracció amb el mateix denominador i al numerador la suma (o resta) dels numeradors .

Exemple

Amb diferent denominador

Primer cal escriure les fraccions equivalents que tinguin comú el denominador i després procedir com en el cas anterior. En tots dos casos, cal simplificar el resultat final.

Exemple

- Multiplicació

La multiplicació de dues o més fraccions és una nova fracció que té per numerador el producte dels numeradors i per denominador el producte de denominadors. Cal simplificar el resultat.

Exemples

- Divisió

Dividir dues fraccions és el mateix que multiplicar la primera fracció per la inversa de la segona. La manera més ràpida de dividir dues fraccions és multiplicant en creu els seus elements i simplificant el resultat final.

Exemples

Potències i fraccions

Potència d’una fracció

Per fer una potència d'una fracció cal fer la mateixa potència del numerador i del denominador.

Potència d’un producte de fraccions

La potència d’un producte és igual al producte de les potències dels factors

Potència d’un quocient de fraccions

La potència d’un quocient és igual al quocient de les potències del dividend i del divisor

Producte de potències de la mateixa base

Per multiplicar dues potències de la mateixa base, se’n sumen els exponents.

Quocient de potències de la mateixa base

Per dividir dues potències de la mateixa base, se’n resten els exponents

Potències d’exponent zero

La potència d’exponent zero val sempre u (per a qualsevol base diferent de zero).

Potències d’exponent negatiu

Una potència d’exponent negatiu és la inversa de la mateixa potència d’exponent positiu

Potència d’una potència

Per elevar una potència a una altra, se’n multipliquen els exponents

Conversió fracció-decimal

- Pas de fracció a decimal

Per trobar el nombre decimal associat a una fracció cal fer la divisió que aquesta representa, de la qual pot sortir un decimal exacte o un decimal periòdic.

- Pas de decimal exacte a fracció

Un decimal exacte es transforma en fracció si li traiem la coma i el dividim per la unitat seguida de tants zeros com xifres decimals s’hagin suprimit

- Pas de decimal periòdic a fracció

Observa en els exemples el procés seguit per cercar la fracció generatriu d’un decimal periòdic pur i d’un decimal periòdic mixt.

- Fracció Generatriu

A la fracció irreduïble que dóna lloc a un decimal, se l’anomena fracció generatriu d’aquest nombre.