Title: Teoria Tema 2: El moviment dels cossos
Course: Física i química 4t ESO 1r T

El moviment: conceptes bàsics.

1.1 L'estudi del moviment.

La part de la física que estudia exclusivament el moviment sense tenir en compte quines són les causes ni les dimensions de l’objecte mòbil és la cinemàtica.

En realitat, la cinemàtica, juntament amb la dinàmica, forma part de la mecànica, que estudia els moviments i n’analitza les causes i l’evolució. També hi ha l’estàtica, que estudia com aconseguir objectes en equilibri però subjectes a forces (construccions: edificis, ponts, ...)

Parts de la física
Mecànica | Part de la física que estudia el moviment dels cossos, l'evolució de la seva posició en el temps i l'acció de les forces com a causa del moviment.
Cinemàtica | Ciència que estudia la descripció del moviment dels cossos sense considerar les causes que el provoquen.
Dinàmica | Ciència que estudia les causes del moviment, les forces, sense descriure'l.

Font: Elaboració pròpia (Sergio Albert Torralba).

Fixa't en la imatge següent. El cotxe es mou o està aturat?

Font: pexels.com

Observa la imatge dels cotxes en un semàfor en vermell. Si tu estàs en un d'ells, com saps que el teu cotxe arranca o que segueix aturat?

Com segurament has deduït correctament, es sap perquè varia la posició del cotxe amb respecte a un punt que es pren com a referència, com pot ser el mateix semàfor, un arbre o qualsevol altre objecte extern que estigui en repòs.

1.2 Magnituds escalars i vectorials.

Magnituds escalars: són les que es defineixen completament amb un nombre i una unitat.  Ex: temperatura, temps...

Magnituds vectorials: Un vector és un segment orientat. A més d’indicar una quantitat (el mòdul), cal precisar la seva direcció i sentit.

Font: Elaboració pròpia (Sergio Albert Torralba).

- Mòdul és la longitud del vector.
- Direcció és la recta que conté el vector. Indica la seva inclinació.
- Sentit, indicat per la fletxa.
- Punt d’aplicació, punt on comença el vector

1.3 Posició, moviment i mòbil.

Posició: el lloc exacte que ocupa un cos determinat. Si un cos varia la posició, diem que el cos es troba en moviment. Qualsevol cos que canvia de posició, i per tant es troba en moviment s’anomena mòbil.

O= Origen: punt de referència. Punt on diem x=0

Xo= Posició inicial: posició del mòbil respecte l’origen inicialment

x= Posició: posició del mòbil respecte l’origen en un instant t

Font: Elaboració pròpia (Sergio Albert Torralba).

💡 Activitats.

 Activitats: Un cop torneu a la pàgina inicial del curs podreu realitzar l'activitat:

- A2.2.  Introducció.

Relativitat del moviment

2.1 Sistemes de referència.

Un sistema de referència és un punt o un conjunt de punts que utilitzem per determinar si un cos es mou.

Estem en moviment si el sistema de referència és fora de l'autobús i l'observador està dintre o a l'inrevès.

Font: pexels.com

Estem en repòs si l'observador i el sistema de referència són dintre de l'autobús.

Font: pexels.com (creative commons).

Treballarem amb 3 tipus de sistemes de referència:

- Lineal o espai unidimensional.
- Pla o espai bidimensional.
- Espaial o espai tridimensional.

2.2 Trajectòria, desplaçament i espai recorregut.

Diferència entre trajectòria (línia negra), espai recorregut (S) i desplaçament Δx. Font: Elaboració pròpia (Sergio Albert Torralba).

- Trajectòria: línia de punts per on passa el mòbil
- Espai recorregut, s: distància recorreguda sobre la trajectòria
- Δx = Desplaçament: vector que va des de la posició inicial a la final

Mireu el següent vídeo vídeo.

Font: Cinematik3D (Youtube).

- sistema lineal o unidimensional: El vector desplaçament (en vermell) coincideix en direcció amb la trajectòria en un moviment lineal.
- sistema pla o bidimensional: El vector desplaçament (en vermell) no coincideix amb la trajectòria.
- sistema espaial o tridimensional: El vector desplaçament tampoc coincideix amb la trajectòria.

2.3 La relativitat del moviment.

Graella de moviments
Moviment | Trajectòria | Exemples
Moviment rectilini | La trajectòria és una línia recta | Deixem caure un objecte
Moviment circular | La trajectòria és una circumferència | Moviment d'una roda de fira
Moviment curvilini parabòlic | La trajectòria és una paràbola | El llançament de projectils
Moviment curvilini el·líptic | La trajectòria és una el·lipse | Òrbita dels planetes al voltant del Sol
Moviment variat | La trajectòria és variada | Moviment que fa un cotxe en una carretera

Graella de moviments. Font: Elaboració pròpia (Sergio Albert Torralba).

RECORDA: L'elecció d’un sistema de referència és totalment arbitrària, per la qual cosa, segons quin sistema escollim, el moviment descrit serà diferent, tant pel que fa a la condició del moviment com a les característiques de la trajectòria descrita.

💡 Activitats.

Activitats: Un cop torneu a la pàgina inicial del curs podreu realitzar l'activitat:

- A2.3. Exemple vida real.

Magnituds cinemàtiques I: temps, posició, desplaçament i espai recorregut.

3.1 El temps.

tₒ= temps inicial: generalment coincideix amb l’inici del moviment.

Δt= t- tₒ : Increment de temps durant el qual volem estudiar el moviment.

En la majoria dels casos considerem  tₒ=0, llavors:  Δt= t

3.2 Posició.

Com ja hem dit abans, la posició és el lloc exacte que ocupa un cos determinat. Si un cos varia la posició, diem que el cos es troba en moviment. Qualsevol cos que canvia de posició, i per tant es troba en moviment s’anomena mòbil.

3.3 Desplaçament.

Δx = Desplaçament: (vector): Posició final menys posició inicial

Δx = x-xo

Desplaçament positiu: ∆x>0  es mou cap a la dreta.

Desplaçament negatiu: ∆x<0  es mou cap a l’esquerra.

Exemples:

  Δx= 8-2 = 6 cm >0                            Δx= 2-(-6) = 8cm >0

Δx= -3-5= -8 cm < 0                         Δx= -3-(-7)= 4 cm > 0

Font dibuix: elaboració pròpia (Sergio Albert Torralba).

💡 Activitats.

 Activitats: Un cop torneu a la pàgina inicial del curs podreu realitzar l'activitat:

- Continueu al següent apartat.

Magnituds cinemàtiques II: velocitat, rapidesa i acceleració.

4.1 Velocitat mitjana i velocitat instantània.

Velocitat: magnitud vectorial que relaciona el desplaçament fet per un mòbil amb el temps invertit en aquest desplaçament.

\( v mitjana = \frac{desplaçament}{temps} \)

La velocitat mitjana en un recorregut la calculem dividint el desplaçament entre el temps que ha tardat en recorre’l.

Exemple:

Font: Elaboració pròpia (Sergio Albert Torralba).

El velocímetre ens indica el valor de la velocitat en cada instant: és la velocitat instantània.

Si ara fes el mateix però en sentit contrari, obtindria el mateix resultat però amb signe negatiu. Fixa't que si vaig del punt 20 m al punt 30 m, per exemple, la distància recorreguda és de 10 m. Però si vaig del punt 30 m al punt 20 m, la distància és de -10 m.

Δx = xf- xo = 20 - 30 = -10 m.

Per tant, la velocitat quan vaig del punt 30 m al punt 20 m és també negativa.

\( v = \frac{ \Delta x}{t} = \frac{xf - xo}{t} = \frac{20 - 30}{5} = -2 m/s \)

El signe només ens està indicant en quin sentit es produeix el desplaçament, cap a quin extrem de la recta es mou el mòbil.

Font: Elaboració pròpia (Sergio Albert Torralba).

4.2 La rapidesa o celeritat.

La celeritat és una magnitud escalar que quantifica el recorregut per unitat de temps d’un objecte en moviment.

\( Celeritat mitjana = \frac{espai recorregut per un mòbil}{temps invertit en el moviment} = \frac{s}{ \Delta t } \)

Celeritat instantània: mòdul de la velocitat en un instant determinat.

Per tant, quina és la diferència entre velocitat mitjana i celeritat mitjana?

La velocitat mitjana té en compte el desplaçament (Δx) i la celeritat té en compte tot l'espai recorregut (s):

Font: elaboració pròpia (Sergio Albert Torralba).

4.3 L'acceleració.

L’acceleració és una magnitud vectorial que relaciona la variació de la velocitat d’un cos amb el temps invertit en aquesta variació. Unitats SI: (m/s^2)

Per exemple una acceleració de 1’5 m/s^2 vol dir que la velocitat varia 1’5 m/s cada segon.

Posar exemple acceleració positiva i acceleració negativa.

\( Acceleració mitjana, am = \frac{ \Delta v }{ \Delta t } = \frac{vf - vo}{tf - to} \)

Acceleració instantània: la que té en un instant determinat.

💡 Activitats.

Activitats: Un cop torneu a la pàgina inicial del curs podreu realitzar l'activitat:

- A2.4.  La gràfica.

Moviment rectilini uniforme (MRU)

5.1 Característiques d'un MRU.

La trajectòria és recta i la velocitat és constant (en mòdul i direcció)

És un moviment en el que es manté constant el mòdul, la direcció i el sentit de la velocitat.

Font: Elaboració pròpia (Sergio Albert Torralba).

Com que es mou a velocitat constant, recorre la mateixa distància en el mateix interval de temps. En aquest cas 100 metres cada 5 segons. La seva velocitat serà :

\( v = \frac{ \Delta x }{ \Delta t } = \frac{100}{5} = 20 m/s \)

5.2 Càlcul de la posició.

Equacions del moviment rectilini uniforme

Δx= desplaçament, xo=posició inicial

Δx=x-xo

\( v = \frac{ \Delta x }{ \Delta t } = \frac{x - xo}{t - to} \)

x=xo+v·(t-to)

Δx=v·(t-to)

Quan to=0

x=xo + vt

Δx=vt

Cada segon que passa recorre 20 metres. Al cap de 5 segons haurà viatjat 100 metres; al cap de 10 segons, 200 metres; i al cap d’una hora (3600 segons)...

\( \Delta x = v \cdot t = 20 m/s \cdot 3600 s = 72000 m = 72,2 km \)

5.3 Representació gràfica posició-temps (x/t).

Un mòbil surt d’ un punt situat a una distància de tres metres respecte l’origen de coordenades i porta una velocitat constant de 5 m/s.

x=xo + vt --> x=3+5t

Construïm la graella donant-li valors a t=0, 1, 2, 3, 4, 5 segons obtenint el valor de x a través de l'equació anterior.

t (s) | x (m)
0 | 3
1 | 8
2 | 13
3 | 18
4 | 23
5 | 28

Ara representem gràficament la posició x(m) a l'eix Y i el temps t(s) a l'eix X:

Font: Elaboració pròpia (Sergio Albert Torralba).

La gràfica x-t és una línia recta que talla a l’eix d’ordenades en la posició inicial (xo).

La representació gràfica de la posició en relació amb el temps en un MRU sempre correspon a una línia recta, que serà ascendent (pendent positiu) si la velocitat és positiva, i descendent (pendent negatiu) si la velocitat és negativa.

a) MRU amb velocitat positiva

Font: Elaboració pròpia (Sergio Albert Torralba).

b) MRU amb velocitat negativa

Font: Elaboració pròpia (Sergio Albert Torralba).

5.4 Posició i equació del moviment.

La posició d’un mòbil canvia amb el temps. Per saber la posició exacta d’un cos en cada instant, fem servir l’equació del moviment.

Exemple:

Un cos es mou durant 4s seguint un moviment rectilini d’acord amb l’equació:

                  x(t) = 2 t + 5

Quina posició ocupa per t=0, t=2 i t=4 s?

Donant els valors indicats al temps, obtenim la posició segons l'equació de dalt:

t (s) | x (m)
0 | 5
2 | 9
4 | 13

Un cop tenim la graella podem dibuixar el gràfic posició-temps amb un full de càlcul:

Font: Elaboració pròpia (Sergio Albert Torralba).

5.5 Representació gràfica velocitat-temps (v/t).

Un mòbil surt d’un punt situat a una distància de tres metres respecte l’origen de coordenades i porta una velocitat constant de 5 m/s.

Font: elaboració pròpia (Sergio Albert Torralba).

La gràfica v-t és una línia horitzontal, paral·lela a l’eix d'abscisses, que talla a l’eix d’ordenades en el valor de la velocitat del mòbil.

Reflexionem: Com seria la gràfica acceleració-temps en un MRU?

La resposta correcta seria que el MRU té acceleració zero, per tant seria una línia horitzontal a l'eix Y quan a=0.

Amb aquest enllaç pots trobar més informació sobre interpretació de gràfiques (pàgina d'ús lliure).

5.6 Mòbils que es troben.

Els problemes de mòbils que es troben consisteixen a dos cossos separats una distància que es mouen en sentit contrari a dos velocitats diferents i es troben en un punt determinat.

Per resoldre'l s'ha de calcular l'equació de moviment de cada mòbil i igualar-les per aïllar la incògnita.

Exemple: La Laia i la Carme surten de Gavà i Barcelona respectivament. Suposant que hi ha 20 km de distància entre les dues ciutats i que la Laia va a una velocitat de 10 m/s i la Carme va a una velocitat de 8 m/s (sentit contrari). Calculeu en quin punt i a quina hora es troben.

La representació gràfica serien dues línies rectes que es tallen.

Font: Elaboració pròpia (Sergio Albert Torralba).

💡 Activitats.

 Activitats: Un cop torneu a la pàgina inicial del curs podreu realitzar l'activitat:

- A2.5.  MRU L'autobús.

Moviment rectilini uniformement accelerat (MRUA)

El moviment rectilini uniformement accelerat (MRUA) és un moviment on la trajectòria és una línia recta i l’ acceleració és constant.

Però, què és l'acceleració?

Acceleració és una magnitud vectorial que mesura el que varia la velocitat d’ un mòbil per unitat de temps.  En el SI es mesura en (m/s)/s =m/s^2.

Acceleració tangencial, at:

Mesura el que varia el mòdul de la velocitat per unitat de temps

\( at= \frac{ \Delta v }{ \Delta t } = \frac{v - vo}{t - to} \)

Acceleració centrípeta o normal, an: Mesura el que varia la direcció del vector velocitat per unitat de temps

\( an = \frac{v^2}{R} \)

Per què un mòbil tingui les dues components de l’acceleració, ha de tenir un moviment curvilini i la seva velocitat ha de canviar en mòdul.

Font: Elaboració pròpia (Sergio Albert Torralba).

6.1 Característiques d'un MRUA.

- La trajectòria és una línia recta.
- La velocitat varia de manera uniforme.
- L'acceleració és constant i de valor diferent de zero.

Equacions del MRUA:

Equació de posició:

x=xo + vo(t-to) + 1/2a(t-to)^2

recordem que a=Δv/Δt=v-vo/t-to

Quan to=0

x=xo + vot + 1/2at^2

Equació de velocitat:

v=vo + a(t-to)

Quan to=0

v=vo+at

Quan s'enlaira un avió realitza un moviment rectilini uniforme accelerat:

Font: elaboració pròpia (Sergio Albert Torralba).

6.2 Càlcul de la posició.

Observem que la posició depèn del quadrat del temps, la relació entre la posició i el temps NO és lineal.

x=xo + vo(t-to) + 1/2a(t-to)^2

quan to=0

x=xo + vot + 1/2at^2

Exemple: Un mòbil segueix un MRUA amb una acceleració constant de 2m/s^2. Si parteix des d'una posició de 2 m respecte de l'origen de coordenades a una velocitat de 3 m/s, quina en serà la posició al cap de 5 segons?

Primer aconsellem fer un dibuix:

Font: Elaboració pròpia (Sergio Albert Torralba).

Després posem les dades que coneixem del problema:

xo = 2 m

vo = 3 m/s

a = 2 m/s^2

t = 5 s

Utilitzem la fórmula de la posició per al MRUA:

x = xo + vo·t + 1/2·a·t^2

substituint les dades del problema, obtenim:

x = 2 + 3·5 + 1/2·2·5^2 = 42 m.

6.3 Càlcul de la velocitat.

Equació de la velocitat

Si recordem:

\( a = \frac{ \Delta v }{ \Delta t } = \frac{v - vo}{t - to} \)

v = vo + a·(t - to), quan to=0

v = vo + a·t

Calculem la velocitat:

Un ciclista de muntanya que circula a una velocitat de 30 km/h frena i s'atura en un temps de 2 segons després de veure que hi ha un obstacle a 10 m de distància respecte del punt des del qual l'ha vist. Calculem l'acceleració amb què frena el ciclista. Podrà parar abans d'arribar a l'obstacle?

Dades:

xo = 0 m.

vo = 30 km/h.

vf = 0 m/s.

a = ?

t = 2 s.

x = ?

\( \frac{30 km}{h} \cdot \frac{1000 m}{1 km} \cdot \frac{1 h}{3600 s} = 8,3 m/s \)

v = vo + a·t; 0 = 8,3 m/s + a·2 s; \( a = \frac{-8,3 m/s}{2 s} = -4,15 m/s^2 \)

Calculem la posició final del ciclista:

x = xo + vo·t + 1/2·a·t^2 = 0 + 8,3·2 + 1/2·(-4,15)·2^2= 16,6 m - 8,3 m = 8,3 m.

Per tant, la seva acceleració és -4,15 m/s^2 (negativa, ja que és de frenada), i sí que aconseguirà aturar-se abans d'arribar a l'obstacle.

A més de les dues equacions que hem descrit, en podem deduir una altra en la qual no hi apareix la variable temps i que pot resultar molt útil.

Sabem que: \( a = \frac{vf - vo}{t} \)

Per tant:

\( t = \frac{vf - vo}{a} \)

Si ara substituïm el temps en l'equació del desplaçament del MRUA:

xf = xo + vo·t + 1/2·a·t^2

Tenim:

\( xf=xo+vo \frac{vf-vo}{a} + \frac{1}{2} a (\frac{vf-vo}{a})^2 \)

Efectuant operacions i simplificant, arribem a la següent expressió:

vf^2 - vo^2 = 2aΔx

vf^2 - vo^2 = 2a·(x - xo)

Exemples de MRUA:

Durant els primers segons d’una carrera de cavalls, podem considerar que el moviment és MRUA.

Font: pexels.com

La caiguda lliure també és un exemple de MRUA:

Font: Wikipedia ( https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Puenting_Rio_Blanco_en_Ba%C3%B1os_de_Agua_Santa.JPG)

6.4 Representació gràfica MRUA: posició-temps (x/t)

Un mòbil es mou en línia recta des d’un punt situat a 4 metres de l’origen amb una velocitat inicial de 3 m/s i una acceleració constant de 2 m/s^2.

x = xo + vo·t + 1/2·a·t^2

x = 4 + 3·t + t^2

Farem una graella t(s) i x(m)

t (s) | x (m)
0 | 4
1 | 8
2 | 14
3 | 22
4 | 32
5 | 44
6 | 58

Font: Elaboració pròpia (Sergio Albert Torralba).

i la representarem gràficament amb un full de càlcul:

Gràfica posició-temps MRUA. Font: Elaboració pròpia (Sergio Albert Torralba).

En un MRUA la posició front al temps és una corba.

6.5 Representació gràfica del MRUA: velocitat-temps (v/t).

v = vo + a·t

v = 3 + 2·t

Dibuixem la graella temps (s) i velocitat (m/s):

t (s) | v (m/s)
0 | 3
1 | 5
2 | 7
3 | 9
4 | 11
5 | 13
6 | 15

Representació de les dades v/t.

Gràfica velocitat-temps MRUA. Font: Elaboració pròpia (Sergio Albert Torralba).

En un MRUA la velocitat front al temps és una línia recta inclinada.

6.6 Representació gràfica del MRUA: acceleració-temps (a/t).

La representació gràfica de l’acceleració en relació amb el temps en un MRUA sempre correspon a una línia horitzontal paral·lela a l’eix d’abscisses.

Fem la gràfica a/t per als 5 primers segons del moviment del mòbil de l'exemple anterior. Com que l'acceleració és constant, sempre n'obtindrem el mateix valor:

t (s) | a (m/s^2)
0 | 2
1 | 2
2 | 2
3 | 2
4 | 2
5 | 2

Gràfica acceleració-temps. Font: elaboració pròpia (Sergio Albert Torralba).

Gràfiques del MRUA:

Font: Elaboració pròpia (Sergio Albert Torralba).

💡 Activitats.

Activitats: Un cop torneu a la pàgina inicial del curs podreu realitzar l'activitat:

- A2.6.  MRUA El cotxe.
- A2.10. Simulador MRU i MRUA.

Cas particular MRUA: La caiguda lliure.

La caiguda lliure és un cas especial de MRUA on l'acceleració és la de la gravetat (g=9,8 m/s^2). De vegades s'utilitza g=10 m/s^2 per simplificar els càlculs.

Quan un objecte cau o el tirem, la seva velocitat és cada cop més negativa, es a dir, el seu mòdul augmenta, però el seu signe és negatiu, ja que el mòbil va cap avall.

Vo < 0

Quan llancem un cos cap amunt, la seva velocitat disminueix en mòdul fins que es fa zero.

Vo> 0

Vf = 0

En ambdós casos, l'acceleració “g” és de -9,8 m/s^2. Posem signe negatiu perquè indica que va cap avall.

Equacions del moviment de caiguda lliure.

\( y=yo+vo(t-to)- \frac{1}{2} 9,8(t-to)\)^2

Quan to=0

\( y=yo+vot- \frac{1}{2} 9,8t\)^2

v=vo - 9,8(t-to), quan to=0

v=vo - 9,8t

Quan llancem cap amunt i verticalment (o per un pla inclinat) un objecte, la seva velocitat disminueix fins que arriba al punt de màxima altitud, on, per un instant, la seva velocitat és zero. A continuació torna a caure augmentant la seva velocitat en sentit contrari fins que assoleix la mateixa velocitat que tenia a l'inici just quan arriba al punt de partida (si negligim la resistència a l'aire).

Gràfica velocitat-temps per a caiguda lliure. Font: elaboració pròpia (Sergio Albert Torralba).

Gràfica posició-temps per a caiguda lliure. Font: elaboració pròpia (Sergio Albert Torralba).

És l'acceleració a dalt de tot també zero?

No! L'acceleració ha estat durant tot el moviment la mateixa: 9,8 m/s^2 en sentit cap a terra.

És a dir, hem tingut una acceleració constant de -9,8m/s^2.

Aquesta acceleració ha fet que la velocitat positiva inicial s'hagi reduït fins a zero i que després hagi augmentat la velocitat negativa de l'objecte.

💡 Activitats.

Activitats: Un cop torneu a la pàgina inicial del curs podreu realitzar l'activitat:

- A2.11.  Repte: accidents de trànsit.

Info aquesta tasca es fa en grups petits (el vostre professor/a us ajudarà a fer-los) i els resultats s'hauran de posar a la Wiki.

- A2.12. STEAM a classe (o a casa).
- A2.13. Qüestionari autoavaluació cinemàtica MRU (extern).
- A2.14. Qüestionari autoavaluació cinemàtica MRUA (extern).

Resum de fórmules

Font: Resum de fòrmules (elaboració pròpia: Sergio Albert Torralba).

💡 Activitats.

 Activitats: Un cop torneu a la pàgina inicial del curs podreu realitzar l'activitat:

- A2.16.  Laboratori a casa.
- A2.17. Qüestionari el moviment dels cossos.
- A2.18. Diari d'aprenentatge Tema 2.
- A2.19. Qüesionari prova de síntesi Tema 2.