Title: La divisibilitat
Course: Matemàtiques 1r ESO 1r T

Múltiples i divisors

- Un nombre és múltiple d’un altre quan s’obté multiplicant aquest últim per un nombre natural
- Un nombre és múltiple d’un altre si la divisió entre els dos és exacta

                     * 30 és múltiple de 2, 3, 5, .... ja que 2 · 15 = 30, 3 · 10 = 30, 5 · 6 = 30

Un múltiple d'un nombre sempre és un altre nombre més gran o igual, tret del 0

- Un nombre és divisor d'un altre si el divideix de forma exacta.
- Un nombre es divisible per un altre si la divisió entre els dos és exacta ( de residu 0)

                    * 2, 3, 5, 6 ..... són divisors de 30

                    * 30 és divisible per 2, 3, 5, 6......

Un divisor d'un nombre, sempre és un altre nombre igual o més petit

Divisors d'un nombre

- Per calcular tots els divisors d’un nombre:

1. Començarem a fer divisions, buscant que siguin exactes, pels nombres naturals a partir de l’1.
2. Anirem formant la llista de divisors amb el quocient i el divisor de les divisions exactes
3. Acabarem quan ens toqui dividir per un nombre que ja està a la llista

- Divisors de 36:

36 : 1 = 36 | Els primers divisors que trobem són: 1 i 36
36 : 2 = 18 | Segueixen: 2 i 18
36 : 3 = 12 | També ho són: 3 i 12
36 : 4 = 9 | Continuem amb: 4 i 9
36 : 6 = 6 | Acabem amb el 6

Per tant, els divisors de 36 són: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 i 36

Entre els divisors d'un nombre sempre hi ha l'1 i el mateix nombre

Criteris de divisibilitat

- Per saber si un nombre natural és divisible per un altre, només cal fer la divisió i comprovar que doni 0 de residu.
- Però quan els nombres són grans, s'utilitzen els criteris de divisibilitat, que són unes regles que ens permeten saber si un nombre és divisible per un altre sense fer la divisió

Divisibilitat per 2

Un nombre és divisible per 2 quan acaba en xifra parell.

Els nombres: 34,  358, 800..... són divisibles per 2.

Divisibilitat per 3

Un nombre és divisible per 3 quan la suma de les seves xifres és múltiple de 3.

El nombre 453 és divisible per 3, ja que 4 + 5 + 3 = 12 que és un múltiple de 3.

Divisibilitat per 5

Un nombre és divisible per 5 quan acaba en 0 o 5.

Els nombres 85, 455, 1200, 5630.... són divisibles per 5.

Divisibilitat per 9

Un nombre és divisible per 9 quan la suma de les seves xifres és múltiple de 9.

El nombre 873 és divisible per 9, ja que 8 + 7 + 3 = 18 que és múltiple de 9.

Divisibilitat per 10

Un nombre és divisible per 10 quan acaba en 0.

Els nombres 230, 1670, 800 són divisibles per 10

Divisibilitat per 11

Un nombre és divisible per 11 quan la diferència entre la suma de les xifres que ocupen una posició parell i les que ocupen una posició imparell, és múltiple d'11.
El nombre 9361   és divisible per 11, ja que     (9 + 6) – (3 + 1) = 15 – 4 = 11 que és múltiple d'11.

Nombres primers i compostos

- Un nombre és primer quan només té dos divisors: l'1 i ell mateix.

             El 13 és un nombre primer ja que només es pot dividir per 1 i 13.

- Un nombre és compost quan té més de dos divisors.

             El 36 és un nombre compost ja que es pot dividir per 1, 2, 3, 4, 6...

- El garbell o sedàs d’Erastòtenes ens permet eliminar els nombres compostos i quedar-nos amb els primers.
- Tots els nombres compostos es poden expressar com un producte de factors primers.
- Dos nombres són primers entre ells quan només tenen l'1 com a divisor comú

              El 15 i el 8 són primers entre ells ja que entre els divisors només coincideix el número 1.

Descomposició factorial d'un nombre

- Per factoritzar un nombre:
  - Dividirem el nombre successivament i fins a obtenir 1 pels nombres primers (ha de ser una divisió exacta).
  - Agruparem els nombres primers obtinguts en potències de la mateixa base i així obtindrem el producte de factors primers.

               360 = 2^3 · 3^2 · 5
                                                    360    2
                                                    180    2
                                                      90    2
                                                      45    3
                                                      15    3
                                                        5    5
                                                        1

Màxim comú divisor (mcd)

És el més gran dels divisors comuns.

Per buscar el mcd de dos o més nombres ho podem fer utilitzant dos mètodes diferents.

- Càlcul dels divisors:
  - Busquem tots els divisors dels nombres.
  - Marquem els que siguin comuns.
  - Escollim com a mcd el més gran dels divisors comuns.

                    Divisors de 16: 1, 2, 4, 8, 16.
                    Divisors de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
                    mcd (12, 16) = 4.

- Factorització
  - Descomponem els nombres en factors primers.
  - Marquem els factors comuns.
  - Per trobar el mcd agafem el producte dels factors comuns elevats a l'exponent més petit.

                  16 = 2^4

                  12 = 2^2 · 3

                  mcd (12, 16) = 2^2 = 4

El mcd sempre existeix, si no hi ha factors comuns és l'1.

Mínim comú múltiple (mcm)

És el més petit dels múltiples comuns.

Per buscar el mcm de dos o més nombres ho podem fer per dos mètodes diferents:

- Càlcul dels múltiples:
  - Calculem els primers múltiples dels nombres.
  - Marquem els que siguin comuns.
  - Escollim com a mcm el més petit dels múltiples comuns.

                Múltiples de 12: 12, 24, 36, 48. ..

                Múltiples de 16: 16, 32, 48, 64...

                mcm (12, 16 ) = 48

- Factorització
  - Descomponem els nombres en factors primers.
  - Ens quedem amb tots els factors comuns i no comuns.
  - Per trobar el mcm agafem el producte de tots els factors elevats a l’exponent més gran.

              16 = 2^4
              12 = 2^2 · 3
               mcm (12, 16) = 2^4 · 3 = 48

El 0 no compta al buscar el mcm.