Title: Nombres naturals i potències
Course: Matemàtiques 1r ESO 1r T

Origen i evolució dels nombres

L'aparició dels nombres va lligada a la necessitat de comptar.

L'home primitiu ja utilitzava tècniques com ara fer marques a un bastó de fusta, separar llavors, etc.

Amb l'evolució de la societat, apareixen símbols.

Aquests símbols i les seves normes d'utilització, formen el sistema de numeració.

Sistemes additius

El valor del nombre s’obté sumant els valors de cada un dels signes que el formen.

- Sistema de numeració egipci

Utilitzaven els següents 7 símbols, amb valors de 1, 10, 100, 1000,...

- Sistema numeració romà

També utilitzaven 7 símbols, però en aquest cas, eren lletres majúscules.

Per escriure un nombre en el sistema romà cal tenir en compte les següents normes:

- No es pot escriure més de tres vegades seguides el mateix signe.

- Els símbols s’escriuen de gran a petit.

- Una lletra de valor inferior a l’esquerra d’una de valor superior, indica que el valor petit es resta al gran.

- Una barra horitzontal damunt, multiplica per 1000 el valor del símbol.

Sistemes posicionals

Cada símbol té un valor segons la posició que ocupa.

- Sistema decimal

. Utilitza 10 símbols: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

. 10 unitats d’un ordre formen una unitat d’ordre superior

Centenes de miler | Desenes de miler | Unitats de miler | Centenes | Desenes | Unitats
CM | DM | UM | C | D | U

Nombres naturals

- Són sempre positius.

- Són un conjunt ordenat i infinit.

- Es representen per la lletra IN.

IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}

- La seva escriptura es fa tenint en compte la regla D-U-C.

- Es poden llegir i escriure nombres molt grans.

Per a què serveixen?

- Comptar.

- Mesurar.

- Fer una estimació: quan volem fer-nos una idea aproximada d’una quantitat.

- Ordenar: en aquest cas utilitzem la seva expressió ordinal: primer, segon, tercer, quart, cinquè...

- Expressar codis: per identificar persones, poblacions, objectes, entitats, comptes bancaris...

Representació sobre la recta

Els nombres naturals es poden representar sobre una semirecta. Per fer això:

- Agafem un punt de la semirecta com a origen.

- Dividim la recta en segments iguals a la dreta d’aquest punt.

- Les marques de la recta han de ser equidistants, és a dir, les unitats han d’estar separades entre si per la mateixa distància.

Operacions amb nombres naturals

Tot i que ja coneixes les operacions amb nombres naturals, repassarem alguns conceptes i propietats.

Ens centrarem amb la suma i la resta, la multiplicació, la divisió i les operacions combinades.

Suma i resta

Sumar és afegir, ajuntar... per tant, a la recta ens desplacem cap a la dreta.

Restar és treure, suprimir.... per tant, a la recta ens desplacem cap a l’esquerra.

Propietats de la suma:

- Commutativa: l’ordre dels sumands no altera la suma.

5 + 12 = 12 + 5

- Associativa: l’agrupació dels sumands no canvia el resultat.

4 + 6 + 12= (4 + 6) + 12 = 10 + 12 = 22

4 + 6 + 12= 4 + (6 + 12)= 4 + 18 = 22

- Element neutre: és el zero

5 + 0 = 5

Divisió

Dividir vol dir repartir.

Els termes d’una divisió són : dividend (D), divisor (d), quocient

(Q) i residu (R).

Prova de la divisió D = Q · d + R

Multiplicació

Multplicar és sumar moltes vegades el mateix nombre.

Propietats de la multiplicació:

- Commutativa: l’ordre dels factors no altera el producte.

6 · 15 = 15 · 6

- Associativa: l’agrupació dels factors no canvia el resultat.

5· 6 · 10= (5 · 6) · 10 = 30 · 10 = 300

5 ·6 ·10= 5 · (6 · 10)= 5 · 60 = 300

- Element neutre: és l'1

5 · 1 = 5

- Distributiva del producte respecte la suma:

3 · ( 5 + 6) = 3 · 5 + 3 · 6

Operacions combinades

Ordre de prioritat de les operacions:

1) Parèntesis                                  3 · ( 2 + 5) + 6 · 4 =

2) Potències i arrels                       3 · 7 + 6 · 4 =

3) Multiplicacions i divisions         21 + 24 =

4) Sumes i restes                           45

Escriu correctament en línia tots els nombres en cada pas.

Quan només quedin sumes i restes, agrupa els nombres que estan sumant per un costat i els que estan restant per l’altre.

Potències

Una potència és una forma abreujada d'escriure un producte d'un nombre per ell mateix varies vegades.

a · a · a · a = a^4

Es llegeix “a elevat a quatre”.

El factor que es repeteix s'anomena base i el nombre de vegades que es repeteix, exponent

- Si l’exponent és 0, el resultat sempre és 1.
- Si l’exponent és 1 el resultat és el mateix nombre.
- En les potències de base 10, l’exponent ens indica el nombre de zeros

Operacions amb potències

- Producte de potències de la mateixa base: es posa la mateixa base i es sumen els exponents.

       a^n · a^ m = a ^n + m                    3^5 · 3^4 = 3^9

- Quocient de potències de la mateixa base: es posa la mateixa base i es resten els exponents.

      a^n : a^ m = a ^n - m ^  3^9 : 3^3 = 3^6

- Producte de potències del mateix exponent: es multipliquen les bases i es posa el mateix exponent.

      a^n · b^ n = (a · b) ^n    ^  3^5 · 5^5 = 15^5

- Quocient de potències del mateix exponent: es divideixen les bases i es posa el mateix exponent.

       a^n : b^ n = (a :  b) ^n     18^4 : 3^4 = 6^4

- Potència d’una potència: Es posa la mateixa base i es multipliquen els exponents.

      ( a^n )^m = a ^n · m    (3^5 )^4 = 3^20

Arrel quadrada

- L’arrel quadrada d’un nombre “a” és un altre nombre “b” tal que “b” elevat al quadrat dona “a”.

L’arrel quadrada és l’operació inversa a elevar al quadrat.

Els quadrats perfectes són aquells nombres que tenen l'arrel quadrada exacte.

La majoria d'arrels, però, no són exactes, sinó que són arrels quadrades enteres, i en aquests casos, el residu sempre és més petit o igual que el doble de l'arrel

Els 10 primers quadrats perfectes són :

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 i 100.