Title: Càlcul algèbric (II)
Course: Matemàtiques 4t ESO

Propietat distributiva

PROPIETAT DISTRIBUTIVA

$$k(a+b)=ka+kb$$

... i per a fraccions $$\frac{a+b}{k}=\frac{a}{k}+\frac{b}{k}$$

No es correcte $$k(a \cdot b)$$ simplicar-ho en $$k \cdot a \cdot k \cdot b$$
simplement $$k(a \cdot b)=k \cdot a \cdot b$$

Ex1: $$3(4+x)=3\cdot 4+3x=12+3x$$
Ex2:$$4x^2y(3x-2)=12x^3y-8x^2y$$
Ex3: $$\frac{8+x}{2}=\frac{8}{2}+\frac{x}{2}=4+\frac{x}{2}$$
Ex4: $$2(xy)\:{ NO\: es\: equivalent\: a }\: 2x2y \:{ simplement\: es }\: 2xy$$

EXERCICI
Marqueu les expressions ben simplificades

- $$3(7-2x)=21-6x$$
- $$4x^4(7-x^3)=28x^4-4x^{12}$$
- $$7x(5-x)=35-x^2$$
- $$9a^3(3-a^2)=27a^3-9a^5$$
- $$\frac{16-x}{4}=4-\frac{x}{4}$$
- $$\frac{20-a}{4}=5-a$$
- $$3(a \cdot b)=3a \cdot 3b$$
- $$5(4 \cdot m)=20m$$

Extracció de factor comú

EXTRACCIÓ DE FACTOR COMÚ

Si tenim una suma de monomis on apareix algun factor repetit en cada sumand convé aplicar la propietat distributiva a l'inrevés: $$ka+kb=k(a+b)$$

Ex1: $$5x-5yz=5(x-yz)$$
Ex2: $$4xy^5+8xy^3z=4xy^3(y^2+2z)$$ podeu comprovar-ho si apliqueu la propietat distributiva a la segona expressió per obtenir la primera.
Ex3: $$\frac{y}{2}+\frac{z}{2}=\frac{y+z}{2}$$ o també $$=\frac{1}{2}(y+z)$$

EXERCICI
Marqueu les extraccions correctes

- $$4xy+3yz=y(4x+3z)$$
- $$6a^2b^3-9ab^2=3ab^2(2ab-3)$$
- $$6a^2b^3-9ab^2=-3ab$$
- $$x^2y^2z+x^2yz^2+xy^2z^2=xyz(xy+xz+yz)$$
- $$x^2y^2z+x^2yz^2+xy^2z^2=x^2y^2z^2(z+y+x)$$
- $$\frac{2}{a}+\frac{b}{a}=\frac{1}{a}(2+b)$$
- $$5x^2+9x^3y$$ no es pot treure factor comú
- $$4x \cdot 4y=4(x \cdot y)$$
- $$12x-16y=4(3x-4y)$$
- $$4s^3t^2+5st^3=9s^4t^5$$

Producte d'expressions algèbriques

PRODUCTE D'EXPRESSIONS ALGÈBRIQUES

Cal tenir en compte la propietat distributiva sobre cada sumand:
$$k(a+b+c+\cdots)=ka+kb+kc+\cdots$$

Si cadascun dels factors és una suma cal aplicar la propietat distributiva a cadascun dels sumands d'un factor sobre cadascun dels sumands de l'altre:
$$(a+b+c+\cdots)(k+l+m+\cdots)=ak+al+am+\cdots+bk+bl+bm+\cdots+ck+cl+cm+\cdots+\cdots$$

Ex1: $$3x^2(x^4-4x^2-9)=3x^2\cdot x^4-3x^2\cdot 4x^2-3x^2 \cdot 9= 3x^6-12x^4-27x^2$$
Ex2: $$(4-2x)(5+xy)=4\cdot 5+4\cdot xy-2x\cdot 5-2x\cdot xy=20+4xy-10x-2x^2y$$

EXERCICI
Marqueu les igualtats correctes:

- $$2(5-7x)=10-14x$$
- $$-5x(x+7)=-4x+2x$$
- $$2xyz(xy+xz+yz)=2x^2y^2z+2x^2yz^2+2xy^2z^2$$
- $$(5+x)(3+x)=15+x^2$$
- $$(4-x)(x-7)=-x^2+11x-28$$
- $$4a^2b(b+a)=4a^3b^2$$
- $$-3m^2k^3(2mkj^2)=-6m^3k^4j^2$$
- $$-7fg^4h^2(2f^3gh^3-f^2h)=-14f^4g^5h^5+7f^3g^4h^3$$

Identitats notables

IDENTITATS NOTABLES

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ (cal anar alerta en el cas de $$b$$ negativa)
$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

Ex1: $$(x+3)^2=x^2+2x3+3^2=x^2+6x+9$$
Ex2: $$(x-3)^2=x^2+2x(-3)+(-3)^2=x^2-6x+9$$
Ex3: $$(x+4)(x-4)=x^2-4^2=x^2-16$$

EXERCICI
Seleccioneu les simplificacions correctes

- $$(a+b)^3=a^3+3ab+b^3$$
Feedback: La identitat $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ nomes es compleix si l'exponent es 2.
- $$(5+m)^2=m^2+10m+25$$
- $$(z-8)^2=z^2-16z-64$$
- $$(k-7)^2=k^2-14k+49$$
- $$(p+3)^2=p^2+9$$
- $$(x+10)(x-10)=2x$$
- $$y^2-81=(y+9)(y-9)$$
- $$b^2+12b+36=(b+6)^2$$
- $$v^2-w^2=(v-w)^2$$

Simplificació de fraccions

SIMPLIFICACIÓ DE FRACCIONS

Cal considerar l'equivalència de fraccions $$\frac{ka}{kb}=\frac{a}{b}$$
Només podem simplificar factors que multipliquen als altres elements del numerador i denominador.
NO podem simplificar sumands:
$$\frac{k+a}{k+b}\mbox{ NO es simplificable en }\frac{a}{b}$$

Ex1: $$\frac{2x}{2y}=\frac{x}{y}$$
Ex2: $$\frac{5(a+b)}{7(a+b)}=\frac{5}{7}$$ ja que $$(a+b)$$ està multiplicant, tot i ser una suma.
Ex3: $$\frac{x^5y}{x^3y^4}=\frac{x^2}{y^3}$$ eliminem tants factors $$x$$ i $$y$$ del numerador com del denominador
Ex3: $$\frac{x+4}{y+4}\mbox{ NO es simplificable en }\frac{x}{y}$$

EXERCICI
Marqueu les identitats correctes

- $$\frac{7x}{9xy}$$ no es pot simplificar
- $$\frac{3ab}{8a}=\frac{3b}{8}$$
- $$\frac{(a+b)(a-b)}{a(a-b)}=\frac{a+b}{a}$$
- $$\frac{k+m}{j+m}=\frac{k}{j}$$
- $$\frac{4-z}{3-z}$$ no es pot simplificar
- $$\frac{4a^2b^5}{3a^2b}=\frac{4b^4}{3}$$
- $$\frac{4j^3k^5}{j^2k}=4j^5k^6$$